Thema: Winkel zwischen zwei Vektoren in n-Dimensionen

Hallo, haben mal wieder so eine komische Aufgabe bekommen.

Zuerst sollten wir den Winkel von der Raumdiagonale eines Würfels mit der Kante bzw mit der Seitendiagonale berechnen.
War jetzt nicht besonders schwer (habs mitm pythagoras gemacht), aber wie ist das nun der Winkel in n-Dimensionen?
Wir sollen dafür eine Formel aufstellen: Ich denke mal die Grundlage soll das sein a*b = IaI * IbI * cos(phi) (vektor striche über a und b)
Ich dachte man formt das für phi um und schreibt das einfach mit a(n) und b(n) ?

Oder ist das zu einfach gedacht??


Lg

Die Frage ist aber ein wenig ungenau formuliert.

Handelt es sich um einen n-dimensionalen Hyperwürfel oder ist es ein dreidimensionaler Würfel, der irgendwie in einem n-dimensionalen Raum liegt?

Hi,
also es handelt sich einfach um einen winkel, der von zwei Vektoren eingeschlossen wird, die in einem n-dimensionalen Hyperwürfel liegen. Und man sollte das irgendwie mit der Formel von oben gelöst bekommen (haben wir in der letzten stunde behandelt die formel).
Also wie die Abhängigkeit in den n-Dimensionen ist.

Lg

Ok.
Dazu erstmal allgemeines zum n-dimensionalen Hyperwürfel.

In n-Dimensionen behält das Skalarprodukt nach wie vor seine Gültigkeit.
Zwei Vektoren sind in n-dimensionen orthogonal zueinander (vereinfacht gesprochen ist das ein synonym für rechtwinklig), wenn das Skalarprodukt zwischen diesen Vektoren verschwindet.
Nun kannst du damit ein n-dimensionales Koordinatensystem über n zueinander orthogonale Einheitsvektoren einführen.
ein zwei dimensionales koordinatensystem wird durch die vektoren (1, 0) und (0, 1) aufgespannt. in drei dimensionen (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
in vier dimensionen (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) usw.
in n-dimensionen ist es dann (1, 0, 0, ..., 0) ... (0, 0, 0, ..., 1) (mit n einträgen)

Die Eckpunkte des n-dimensionalen Würfels sind durch
(0, 0, ..., 0), (0, 0, ..., 1), (0, 0, ...1, 0), ..., (1, 0, ..., 0), (0, 0, ..., 1, 1)... (1, 1, ..., 1, 1) gegeben, wenn ein Punkt in den Koordinatenursprung gelegt wird und er eben entsprechend orientiert wird.
Im Prinzip hat man eine Klammer mit n Einträgen und k einsen. Dann müssen alle k Einsen durchpermutiert werden und k läuft von null bis n.
Damit erhälst du alle Koordinaten der Eckpunkte. Durch ein wenig Überlegung findest du raus, dass der Würfel somit 2^n Punkte hat. Weiterhin verfügt er über n*2^(n-1) Kanten, was hier aber nicht so wichtig ist.

Jetzt ist natürlich die Frage, was hier als Raumdiagonale verstanden wird.
Ich vermute mal, dass es sinnvoll ist die Gerade von (0, 0, ..., 0) nach (1, 1, ..., 1) als Raumdiagonale zu interpretieren. Anders kanns eigentlich auch gar nicht sein.
Damit ist der eine Vektor schonmal gegeben durch (1, 1, ..., 1) (mit n-einträgen), als Verallgemeinerung zu (1, 1, 1) in drei Dimensionen
Jetzt bleibt natürlich die Frage offen, was hier unter Seitendiagonale verstanden wird. Die Projektion der Raumdiagonalen auf die xy- Ebene vielleicht? also (1, 1, 0, 0, ..., 0) ? oder doch eher (1, 1, ..., 1, 0)? ich glauber eher zweiteres.
Und wenn du dann beide vektoren hast, muss du nur noch das Skalarprodukt anwenden.

Achso ich glaube soviel mit der Seitendiagonale hat da snicht zu tun ^^, war nur die erste Aufgabe.
Ich muss halt irgendwie ne Formel finden wie ich den winkel in n dimensionen von zwei vektoren berechne.
Das Skalarprodukt ist ja die Formel in meinem ersten Post oder?
Welcher Vektor ist denn nun a und welcher b? kann ich da (1,1....,1) und (0,0...0) benutzen?

Also jetzt ist mir die Aufgabe nicht ganz klar. Wenn wirklich nur gefragt ist wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren in n-Dimensionen berechnet, musst du nur das skalarprodukt auf n-dimensionen verallgemeinern und das ist ja einfach, nämlich (in orthogonalen koordinaten)
(a1, a2, ..., an)*(b1, b2, ..., bn)=a1b1+a2b2+...+anbn

Das mit (1, 1, 1, ..., 1) bezog sich auf die betrachtung bei einem würfel. und (0, 0, 0, ..., 0) ist der nullvektor. es existiert kein winkel zwischen einem nullvektor und einem anderen vektor.
Ich vermute jetzt, dass wirklich nur verlangt ist, das skalarprodukt von drei auf n-Dimensionen zu verallgemeinern
und das ist das, was ich oben geschrieben habe.

Jop deins War richtig^^

dankeschön

R.Nadal

Jop deins War richtig^^

dankeschön

Ok bedenke aber, dass das Skalarprodukt auch von der gewählten Basis abhängt. Meins gilt nur bei orthogonaler Basis.
Beispiele für wichtige Orthogonalsysteme sind kartesische Koordinaten und Kugelkoordinaten.