Thema: Wendepunkt/Sattelpunkt

Käptn Hook

f(x)=x^4-4x³+6x²-4x+2
->
f'(x)=4x³-12x²+12x-4

Man kann da ausklammern, mein Fehler.

Ja. Dann brauchen wir die Polynomdivision.
Oder man hat einen Taschenrechner zur Verfügung.

Zur Bestimmung eines hoch-, tief-, oder terassenpunkts (sattelpunkt bei euch) haben wir NIE die zweite ableitung dafür benutzt. Das ging anders mit der ersten Ableitung wesentlich einfacher,indem man geschaut hat,wie f'(x) bei einem x-Wert knapp rechts und knapp links vom Nullpunkt reagiert. Ist der x-Wert links vom Nullpunkt der ersten Ableitung kleiner Null und nach der ersten Ableitung größer Null,handelt es sich um einen Tiefpunkt. (bildlich gesprochen fällt der Graf zuerst und steigt danach,weil die erste Ableitung die Steigung angibt). Wenn es andersrum ist handelt es sich um einen hochpumpt (also erst über Null,dann unter Null) und wenn beide Vorzeichen gleich sind handelt es sich um einen terassenpunkt. Das Einzige was du dann noch beachten musst,ist,dass die nullstellen auch definiert sind.
Ist doch unterm Strich viel einfacher,als nochmal ne ellenlange zweite Ableitung herauszuriechen,wenn gar nicht für Wendepunkt oder Krümmungsverhalten benötigt. Hab ich sowohl in meinem Mathe-abi so gemacht,als auch in der Mathe-Klausur im BWL Studium,auch wenns da der Prof so gelehrt hat,wie ihr es gerade so macht.

Wir haben übrigens einen TC und den dürfen wir in der Abi-Klausur verwenden und damit auch Funktionen wie F(X)=0 ausrechnen, ohne dass wir den Lösungsweg angeben müssen.

Blizzard_Black

Zur Bestimmung eines hoch-, tief-, oder terassenpunkts (sattelpunkt bei euch) haben wir NIE die zweite ableitung dafür benutzt. Das ging anders mit der ersten Ableitung wesentlich einfacher,indem man geschaut hat,wie f'(x) bei einem x-Wert knapp rechts und knapp links vom Nullpunkt reagiert. Ist der x-Wert links vom Nullpunkt der ersten Ableitung kleiner Null und nach der ersten Ableitung größer Null,handelt es sich um einen Tiefpunkt. (bildlich gesprochen fällt der Graf zuerst und steigt danach,weil die erste Ableitung die Steigung angibt). Wenn es andersrum ist handelt es sich um einen hochpumpt (also erst über Null,dann unter Null) und wenn beide Vorzeichen gleich sind handelt es sich um einen terassenpunkt. Das Einzige was du dann noch beachten musst,ist,dass die nullstellen auch definiert sind.
Ist doch unterm Strich viel einfacher,als nochmal ne ellenlange zweite Ableitung herauszuriechen,wenn gar nicht für Wendepunkt oder Krümmungsverhalten benötigt

Wenn wir wissen wollen, ob es sich bei dem Extrempunkt um ein Hoch- oder Tiefpunkt handelt, haben wir's genau so gemacht.
Da aber in der Aufgabe so ziemlich IMMER auch nach dem Wendepunkt gefragt wird lohnt es sich dann doch die 2. Ableitung zu bilden. Und hey, so aufwendig ist das nicht.

Big ?

Und hey, so aufwendig ist das nicht.

Das wird bei gebrochen rationalen Funktionen sehr schnell sehr witzig.

Käptn Hook

Das wird bei gebrochen rationalen Funktionen sehr schnell sehr witzig.

Wie gesagt, grundlegendes Anforderungsniveau. Der Lehrer meinte, dass die das schon so machen werden, dass man nicht allzu viel Zeit mit dem Ableiten von Funktionen verschwendet, wenn das nicht explizit gefragt wird.

Kommt halt immer auf die Funktion an. War mitunter auch der Grund,warum ich hingeschrieben hab,wenn Krümmungsverhalten und Wendepunkt nicht verlangt war. Und selbst wenn es verlangt war,hab ich's auf diese weise ausgerechnet,weils ne einfache Methode war das herauszufinden. Dann musst man sich nicht ständig irgendwelche Formeln merken,wann es ein sattelpunkt,terassenpunkt oder Wendepunkt ist . Weil wenn der Teil abgehakt ist,braucht man sich nur noch um den Wendepunkt kümmern. Und der ist bei f''(x)=0. Und Krümmungsverhalten lässt sich dann auch wieder mit der Methode rausfinden,außer es ist sowieso offensichtlich wie bei x^2

ok. die ableitung, welche hook schon gebildet hat, hat bei x=1 eine nullstelle.
Handelt es sich dort um ein Maximum, Minimum oder um einen Sattelpunkt?

@Blizzard_Black

Deine Methode funktioniert auch nicht immer gut.
Beispiel:
f(x)=sin(1/x)
Diese Funktion besitzt bei x=2/(39999*pi) eine extremstelle. Von welchem typ ist sie?

OmegaPirat

ok. die ableitung, welche hook schon gebildet hat, hat bei x=1 eine nullstelle.
Handelt es sich dort um ein Maximum, Minimum oder um einen Sattelpunkt?

@Blizzard_Black

Deine Methode funktioniert auch nicht immer gut.
Beispiel:
f(x)=sin(1/x)
Diese Funktion besitzt bei x=2/(39999*pi) eine extremstelle. Von welchem typ ist sie?

Sinusableitungen sind bei mir nur in der Schule vorgekommen und da das letzte mal vor gut einem Jahr . Aber geht das dort nicht, dass ich jeweils hier bei 2/(39999*pi) einfach +0,1 und -0,1 dranhängt und dann ausrechne? Was kommen dann für Werte raus? Du bist bei uns der Mathematiker, probiers mal aus - oder hast dus schon ausprobiert? Wäre für ne Lösung hierfür dankbar, man lernt ja nie aus .
Allgemein reicht es allerdings für den haushaltsüblichen Schulgebrauch durchaus aus, diese Methode. Allein der Extremwert hierfür lässt mich ja irgendwie schon erkennen, dass es nicht ganz einfach sein dürfte, hier die Extremstelle herauszufinden .

Blizzard_Black

Sinusableitungen sind bei mir nur in der Schule vorgekommen und da das letzte mal vor gut einem Jahr . Aber geht das dort nicht, dass ich jeweils hier bei 2/(39999*pi) einfach +0,1 und -0,1 dranhängt und dann ausrechne? Was kommen dann für Werte raus? Du bist bei uns der Mathematiker, probiers mal aus - oder hast dus schon ausprobiert? Wäre für ne Lösung hierfür dankbar, man lernt ja nie aus .
Allgemein reicht es allerdings für den haushaltsüblichen Schulgebrauch durchaus aus, diese Methode. Allein der Extremwert hierfür lässt mich ja irgendwie schon erkennen, dass es nicht ganz einfach sein dürfte, hier die Extremstelle herauszufinden .

Der Knackpunkt ist, dass hier die maxima und minima in der nähe von null sehr dicht beieinander liegen.
im intervall (0; 0,1] liegen unendlich viele extremstellen.
rechnen wir aber einfach mal.
Es ist
f(x)=sin(1/x)
die ableitung ergibt sich zu
f'(x)=-1/x²*cos(1/x)
null setzen ergibt
-1/x²*cos(1/x)=0
=> cos(1/x)=0
an allen stellen x für die cos(1/x)=0 liegt also eine extremstelle vor.
zum beispiel gilt cos(pi/2)=0. also liegt eine extremstelle bei 1/x=pi/2 bzw x=2/pi vor
ebenso gilt auch cos(pi/2*39999)=0
also 1/x=pi/2*39999 bzw. x=2/(pi*39999)
jetzt betrachte ich die ableitung f'(x)=-cos(1/x)/x²
x² ist ohnehin positiv, wenn ich was für x einsetze. also muss ich nur in -cos(1/x) einsetzen
geh ich von 2/(pi*39999) um 0,1 nach rechts erhalte ich
cos(1/( 2/(pi*39999)+0,1))=0,089...>0 (also positiv)
geh ich um 0,1 nach links, erhalte ich
cos(1/( 2/(pi*39999)-0,1))=0,83...>0, (also auch positiv)
ist es also ein sattelpunkt? nein, es ist ein minimum. im intervall [2/(pi*39999)-0,1, 2/(pi*39999)+0,1]
wechseln sich unzählig viele minima und maxima ab (es sind unendlich viele). du müsstest also das intervall viel kleiner wählen, woher weißt du aber wie klein du es wählen musst? das kann man rausfinden, aber der rechenaufwand ist dann viel größer als wenn du die zweite ableitung bilden würdest.

Bei von dir besagter Methoden müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein
a) Die Funktion muss im gewählten intervall überall stetig und differenzierbar sein
b) Das Intervall muss so klein gewählt werden, dass an keiner weiteren stelle innerhalb des Intervalls f'(x)=0 gilt.

Sind diese Voraussetzungen gegeben, kann man guten gewissens diese Methode verwenden.

Hier sieht man nochmal die funktion f(x)=sin(1/x) gezeichnet. dort siehst du wie dicht die minima und maxima in der nähe von x=0 aneinander liegen.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%281%2Fx%29