Thema: Unmögliche Aufgabe?

Habe hier eine Aufgabe die uns unmöglich scheint.
die besten köpfe der klasse haben herumexperimentiert und nichts gefunden, nicht ein mathelehrer der schule konnte die aufgabe lösen
nur ein praktikant hat es mithilfe eines programms geschafft, das aber nur das ergebnis und keinen lösungsweg ausgespuckt hat

also:

THEMA: Kegel
Berechne von einem Kegel
g) r, s und V aus h=12,0cm und O=1092cm²

ich dachte erst ist doch einfach aber das ist es nicht egal welche formel des kegels ich umgestellt hatte ich hatte immer zu wenig gegeben

ich hatte auch daran gedacht in der oberflächenformel
O=PI*r²+PI*r*s
die p/q formel zu nutzen was auch wieder nicht geht

zu erinnerung:
p/q formel ist
x1/2=-(p/2) +- <2te wurzel> (p/2)²-q <wurzel ende>

Wir haben 3 Formeln, die wir benötigen: [Werte bereits eingesetzt]

1092 = Pi*r² + Pi*r*s
V = 4*Pi* r²
s² = r² + 144

Man hat 3 Gleichungen und in r,s und V 3 Unbekannte. Müsste dann doch eigentlich zu lösen sein.


LG, Sibudka

Öhm...
Ich versuch's mal

Gegeben: h=12,0cm, O = 1092cm²
Grundfläche: Pi * r
Mantelfläche: r * s * Pi
Oberfläche: Pi * r + r * s * Pi

So...

r² + h² = s²

s = Wurzel(r² + h²)

Dies setzen wir in die Oberflächengleichung ein...

Pi * r + r * Wurzel(r² + h²) * Pi = Oberfläche

Teilen wir das durch Pi

r + r * Wurzel(r² + h²) = Oberfläche/Pi

Ich setz dann einfach mal die Zahlen ein

r + r * Wurzel(r² + 144) = 347,6 | - r

r * Wurzel(r² + 144) = 3476 - r |²

r² * (r² + 144) = 120821,9 - 695,2r + r²

r^4 + 144r² = 120821,9 - 695,2r + r² | - r²

r^4 + 143r² = 120821,9 - 695,2r | + 695,2r, - 120821,9

r^4 + 143r² + 695,2r - 120821,9 = 0

Ja...
Hier hängt's xD
Eine Gleichung 4-Grades
Man kann das jetzt mit dem GTR (graphischfähiger Taschenrechner) ausrechnen lassen^^
Dann bekommt r...

Kimmel

Zahlen ein

r + r * Wurzel(r² + 144) = 347,6 | - r

r * Wurzel(r² + 144) = 3476 - r |²

r² * (r² + 144) = 120821,9 - 695,2r + r²

r^4 + 144r² = 120821,9 - 695,2r + r² | - r²

r^4 + 143r² = 120821,9 - 695,2r | + 695,2r, - 120821,9

r^4 + 143r² + 695,2r - 120821,9 = 0

Ja...
Hier hängt's xD
Eine Gleichung 4-Grades
Man kann das jetzt mit dem GTR (graphischfähiger Taschenrechner) ausrechnen lassen^^
Dann bekommt r...

Keine Lösung. Ich kann deine Rechenschritte absolut nachvollziehen, allerdings zeigt der GTR bei mir False (Falsch) an, wenn ich ihn diese Gleichung nach r auflösen lasse.


LG, Sibudka

Kimmel

Öhm...
Ich versuch's mal

Gegeben: h=12,0cm, O = 1092cm²
Grundfläche: Pi * r
Mantelfläche: r * s * Pi
Oberfläche: Pi * r + r * s * Pi

So...

r² + h² = s²

s = Wurzel(r² + h²)

Dies setzen wir in die Oberflächengleichung ein...

Pi * r + r * Wurzel(r² + h²) * Pi = Oberfläche

Teilen wir das durch Pi

r + r * Wurzel(r² + h²) = Oberfläche/Pi

Ich setz dann einfach mal die Zahlen ein

r + r * Wurzel(r² + 144) = 347,6 | - r

r * Wurzel(r² + 144) = 3476 - r |²

r² * (r² + 144) = 120821,9 - 695,2r + r²

r^4 + 144r² = 120821,9 - 695,2r + r² | - r²

r^4 + 143r² = 120821,9 - 695,2r | + 695,2r, - 120821,9

r^4 + 143r² + 695,2r - 120821,9 = 0

Ja...
Hier hängt's xD
Eine Gleichung 4-Grades
Man kann das jetzt mit dem GTR (graphischfähiger Taschenrechner) ausrechnen lassen^^
Dann bekommt r...

Oh Gott... wie kompliziert...

Hilft euch das:

V = (1/3)*G*h
G = π*r²
s² = h²+r²
???

Sibudka

Keine Lösung. Ich kann deine Rechenschritte absolut nachvollziehen, allerdings zeigt der GTR bei mir False (Falsch) an, wenn ich ihn diese Gleichung nach r auflösen lasse.


LG, Sibudka

Eigenartig...
Das ist eine nach oben geöffnete Parabel und muss zwangsweise irgendwann die x-Achse schneiden.
Folglich müsste es mindestens eine Lösung geben...
Ich hab mal in den Taschenrechner ein paar Zahlen für r eingetippt...
r ist zwischen 16 und 17 cm groß

mxyptlk

Oh Gott... wie kompliziert...

Hilft euch das:

V = (1/3)*G*h
G = π*r²
s² = h²+r²
???

Ich hab die Volumenformel nicht benutzt^^
Aber sonst hab ich alle anderen benutzt...

Kimmel

Eigenartig...
Das ist eine nach oben geöffnete Parabel und muss zwangsweise irgendwann die x-Achse schneiden.
Folglich müsste es mindestens eine Lösung geben...
Ich hab mal in den Taschenrechner ein paar Zahlen für r eingetippt...
r ist zwischen 16 und 17 cm groß

Ich habe auch einen kleinen Fehler bei der Eingabe gemacht.

Mein Rechner hat gerundete 16,34 für r raus. Die zweite Lösung ist negativ, womit sie für die Aufgabe nicht sinnvoll ist.

Das heißt, dass man jetzt auch s und V ausrechnen kann.

V = Pi/3*r²*h
V= 4*Pi*(16,34)²
V= 3355 cm³

Und s berechnen:

s = Wurzel (r²+h²)
s = Wurzel (267 +144)
s = 20,27

Auch hier entfällt der negative Wert.

Alle Werte sind übrigens gerundet.

Dank Kimmels richtigem Ansatz wurde die unmögliche Aufgabe möglich.


LG, Sibudka

ich hab jetzt nicht überlegt ob man die gleichung vierten grades umgehen könnte, aber gleichungen 4. grades besitzen noch eine geschlossene lösungsformel. beim 4. grad ist aber schluss, da man ab dem 5. grad keine geschlossene lösungsformel mehr finden kann, wie man es im rahmen der galoistheorie nachweisen kann.

Zusätzlich:
Die Aufgabe ist für 10te Klasse!

also ich hab ne geschlossene lösung für r in abhängigkeit von h und O gefunden. Zur lösung der gleichung vierten Grades
mal angenommen man habe eine allgemeine gleichung vierten grades. diese wird als erstes durch den faktor vor dem x^4 dividiert. so dass man die form x^4+ax³+bx²+cx+d=0 erhält
Die Strategie beruht jetzt darauf, dass man etwas so substutiert, dass das kubische glied rauskürzt, durch eine etwas aufwendige untersuchung kann man dies rausfinden. und zwar in dem man zum beispiel x=z+A substituiert, wobei A für irgendeine konstante steht, wenn man die Situation genauer untersucht, so findet man raus, dass sich das kubische glied genau dann rauskürzt, wenn A=-a/4 also x=z-a/4
dann erhält man eine gleichung der form 0=z^4+pz²+qz+r
mit
p=b-3/8*a³, q=1/8*a³-1/2*ab+c und r=-3/256*a^4+1/16*a²b-1/4*ac+d
Diese neu erhaltende gleichung kann man in die form 0=(z²+B)²-(Cz+D)² bringen oder
(Cz+D)²=(z²+B)² radizieren ergibt:
Cz+D=z²+B
dies ist eine einfache quadratische gleichung, die man mittels pq formel lösen kann
Wenn man das ganze vergleicht, findet man für die konstanten
B, C und D
2B-C²=p
-2CD=q
B²-D²=r
das sind drei bestimmungsgleichungen für drei unbekannte, die es zu bestimmen gilt. Aus diesem hintergrundwissen sollte man jetzt fähig sein eine lösungsformel zu konstruieren, was allerdings aufwendig sein kann.

noch etwas das lösen des gleichungssystems führt auf eine kubische gleichung zurück. bei dieser eliminiert man das quadratische glied genauso, wie bei der gleichung 4. grades. anschließend kann man die gleichung durch geschicktes zerlegen der lösung und koeffizientenvergleich lösen