Thema: Statistik: Erwartungswerte, Kovarianz und Korrelationskoeffizient

hallo,
ich sitze bei der vorbereitung auf eine statistikprüfung gerade auf dem schlauch.

es geht sich um eine aufgabe bei der folgendes in der aufgabenstellung gegeben ist:

E[P] = Erwartungswert für P = 5,9
E[Q] = Erwartugnswert für Q = 68
E[P²] = 39,1
E[Q²] = 5960

nun soll ich den korrelationskoeffizienten von P und Q errechnen. was über folgende gleichung gelingt:

Korrelationskoeffizient P,Q = Cov (P,Q) / Standardabweichung (P) * Standardabweichung (Q)

die standardabweichungen zu errechnen ist kein problem, nur komm ich nicht auf die kovarianz (Cov (P,Q)).

in der lösung steht folgender weg für die kovarianz:

Cov(P,Q) = E(P*Q)-E(P)*E(Q) = 327,20-5,9*68 = -74

klar, der hintere teil, der subtrahiert wird ist klar, nur einsetzen aus der aufgabenstellung. aber wie zum geier kommen die auf 327,20 für E(P*Q)?

weiß das zufällig jemand, wie man die kovarianz, also vielmehr den forderen teil E(P*Q), errechnen soll?

ich bin der meinung, dass das die mutiplikation zweier Erwartungswerte ist. aber mit einer einfachen multiplikation von E[P] = 5,9 und E[Q] = 68, ist es ja nicht getan.

wär super wenn das jemand wüsste.

Hallo
bist du dir sicher, dass die aufgabenstellung vollständig ist?
Für stochastisch unabhängige zufallsvariablen gilt E(XY)=E(X)*E(Y)
In diesem fall handelt es sich wahrscheinlich um stochastisch abhängige Zufallsvariablen, zumals es ansonsten auch keinen sinn macht einen korrelationskoeffizienten bestimmen zu wollen.
Für stochastisch abhängige variablen existiert soweit ich weiß aber kein zusammenhang zwischen E(XY) und E(X), E(Y), E(X²), E(Y²)
Anschaulich beschreibt ja der korrelationskoeffizient wie gut sich messwerte einer geraden annähern lassen, eins bedeutet eine perfekte gerade und null bedeutet absolut keine korrelation.
Ich kann mir nicht vorstellen, dass diese Information bereits in den angegebenen Erwartungswerten drinsteckt.
Wenn nun X=(x1, x2, ..., xn) und Y=(y1, y2, ..., yn) die zufallsvariablen seien, denen die wahrscheinlichkeiten p=(p1, p2, ..., pn) und q=(q1, q2, ..., qn) zugeordnet werden, so gilt
E(XY)=summe über alle xi*yi*pi*qi, wenn die variablen abhängig sind
im unabhängigen fall gilt
E(XY)=summe über alle xi*yj*pi*pj)
man hat hier eine doppelsumme über alle i und j. im abhängigen fall kommen nur die summanden mit i=j vor, weil man ordnet dann ja einem xi ein yi zu, es kann also in der summe nur ein xi und yi gleichzeitig vorkommen, im unabhängigen fall dagegen kann auch bspw x1 und y3 in einem ereignis vorkommen.
Man hat dann halt eine doppelsumme, die sich in das produkt E(X)*E(Y) zerlegen lässt. Im abhängigen fall, also bei der einfachsumme geht das nicht.

erst mal danke für deine mühen!!

ich hasse statistik!

also das mit der doppelsumme, was du erklärt hast, hatte ich auch in meiner formelsammlung gefunden gehabt. aber ich habe in der aufgabe gar keine xi, yi, pi oder qi gegeben. das ist ja auch das, wieso ich da nicht hinetrgestiegen bin, weil ich einfach nur die obeng enannten daten habe. es handelt sich aber sicher um abhängige zufallsvariablen, da mit P=Preis und Q=Menge gemeint sind. ich geb dir einfach mal die komplette aufgabenstellung:

"Auf einem Wochenmarkt bietet ein Erzeuger ein landwirtschaftliches Produkt an. Er interessiert sich daher für den Zusammenhang zwischen dem Marktpreis (in Euro je kg) und seiner abgesetzten Menge (in kg). Der Preis P und die Menge Q sollen hier als Zufallsvariablen gelten. Von der gemeinsamen Verteilung von P und Q seien

E[P]=5,9, E[Q]=68, E[P²]=39,1, E[Q²]=5960

bekannt.

a) Ermitteln Sie den Korrelationskoeffizient von P und Q, falls der Erwartungswert des Umsatzes 327,20 EUR beträgt, und interpretieren Sie das Vorzeichen des Korrelationskoeffizienten."

also oben habe ich mich ja gefragt, wie die auf die 327,20 kommen, die ja hier in der aufgabe zwar angegeben ist, aber nicht als gegeben unterstellt werden. von daher muss ich die 327,20 ja errechnen könne.

Hallo Gilligan

statistik ist auch nicht meine lieblingsbeschäftigung

Die in der Aufgabe angegebenen 327,20 € ist genau die Information, welche fehlte. Der Umsatz ist ja Preis mal Menge, also P*Q und der erwartungswert davon ist dann das gesuchte E(P*Q)(=327,20€).
Du wirst einfach für E(P*Q) den angegebenen Wert einsetzen müssen. Aus den anderen Erwartungswerten allein wird man keinen Korrelationskoeffizienten bestimmen können, da dort eben keine Information über eine Korrelation drin steckt.
Und man wird doch in einer Aufgabe keinen Wert vorgeben, den man eigentlich errechnen sollte.
Wie man das Vorzeichen interpretiert, wirst du sicherlich selber wissen. Deshalb will ich dir das nicht vorweg nehmen.

mh, vielen dank.

da siehst du, dass ich nicht den wahren durchblick in der thematik habe

aber dann find ich die aufgabenstellung bemerkenswert schlecht gestellt. denn weil die eben geschrieben haben, errechnen sie den korrelationskoeffizient, falls der erwartungswert 327,20 beträgt, war ich verwirrt und dachte, das muss ich vorab prüfen ob er eben 327,2 beträgt. ich hätte erwartet, dass die schreiben, nehmen sie an, dass er 327,20 beträgt, dann hätte ich ihn natürlich direkt eingesetzt.

naja... vielen dank!!

ich bin schlechte Aufgabenstellungen gewohnt.
Kürzlich kam mir noch eine Aufgabe zur Thermodynamik unter bei der man ein ideales Gas betrachten sollte bei dem eine empirische Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität von sowieso gefunden wurde. Das ist natürlich ein Widerspruch in sich, da ein ideales Gas bereits impliziert, dass die wärmekapazität temperaturunabhängig ist. Die Aufgabe hat ein Prof gestellt, also selbst Professoren können unsinnige Aufgaben stellen.
In deinem Fall macht es aber auch keinen Sinn den erwartungswert des umsatzes überhaupt zu erwähnen, wenn man ihn zur lösung der aufgabe gar nicht angeben müsste.

Naja viel Erfolg bei deiner Prüfung und falls du bis dahin noch fragen haben solltest, frag ruhig, ich werde mich bemühen dir rechtzeitig zu antworten

Was ist das für eine Sprache die ihr hier sprecht?

OmegaPirat

[...] Die Aufgabe hat ein Prof gestellt, also selbst Professoren können unsinnige Aufgaben stellen.
In deinem Fall macht es aber auch keinen Sinn den erwartungswert des umsatzes überhaupt zu erwähnen, wenn man ihn zur lösung der aufgabe gar nicht angeben müsste.

Naja viel Erfolg bei deiner Prüfung und falls du bis dahin noch fragen haben solltest, frag ruhig, ich werde mich bemühen dir rechtzeitig zu antworten

ja die aufgabe kommt auch von einer professorengruppe, die dieses aufgabenbuch zur prüfungsvorbereitung erstellt hat. naja ich verzeih es ihnen.

vielen dank für deine erfolgswünsche, wenn noch was ist, dann meld ich mich.

Fleischfresse

Was ist das für eine Sprache die ihr hier sprecht?

keine sorgen, dass sieht nur so aus, als würd ich diese sprache sprechen

Fleischfresse

Was ist das für eine Sprache die ihr hier sprecht?

Das ist einfache deskriptive Statistik, die einigen Leuten mal ganz gut tun würde, um den Gehalt einiger ominöser Studien, die in irgendwelchen Boulevardmagazinen oder fernsehsendungen wie taff propagiert werden, zu überprüfen.

Also an der deskriptiven Statistik finde ich es anfänglich schlimm sich die ganzen neuen definierten Beschreibungsgrößen wie Korrelationskoeffizient, Kovarianz, Quantilabweichung, Median, Variationsbreite etc. einzuprägen.
Um Statistiken hinreichend gut zu beschreiben ist es leider nicht durch die bloße Angabe eines Mittelwerts (besser: Erwartungswert) getan.
Danach geht das aber recht einfach.

In diesem Fall geht es einfach nur darum die Güte eines linearen Zusammenhangs zu beurteilen.
Das was man in der Schule noch intuitiv per Hand macht, also durch messpunkten eine gerade durchzeichnen, stellt man hier unter ein strenges mathematisches Fundament. Man kann jetzt bspw. mit der methode der kleinsten quadrate eine geradengleichung berechnen, welche am besten zu den messpunkten passt (das nennt man auch Regressionsrechnung) und mit dem korrelationskoeffzienten hat man dann ein Maß dafür, wie gut der lineare Zusammenhang getroffen ist oder ob man den Messwerten eher keinen linearen Zusammenhang unterstellen sollte.
Im Labor berechnet das immer der Kollege Dr. Computer.