Thema: Satz des Pythagoras

Ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck hat die Höhe h= 8,0 cm. Berechne die Seitenlängen und den Umfang.

Toll, und wie rechnet man das?

Also. Erstens. Darf ich wissen in welcher Klasse du bist? soll jetzt nicht arrogant wirken, sondern ich möchte das wissen, um zu wissen, ob du die Formeln für den Sinus, Cosinus und Tangens kennst.


Du weißt folgendes:

Ein Winkel ist 90°.
Da es ein gleichschenkliges Dreieck ist, sind die andern beiden Winkel 45° und die Schenkeln sind gleich lang.

Die Höhe ist 8 cm.

Das Dreieck ist folgendermaßen aufgebaut. Links Punkt A, rechts Punkt B und oben Punkt C.

Angenommen, das Dreieck ist so aufgebaut, dass der Winkel am Punkt C 90° beträgt. Von diesem Punkt C geht die Höhe senkrecht runter bis zur Hypothenuse. Nennen wir diesen Punkt D. Jetzt hast du vom Dreieck ACD den Winkel Alpha, nämlich 45° und die Länge der Höhe, nämlich 8. Jetzt wendest du den Sinus an.

Der Sinus eines Winkels(45°) ist gleich dem Verhältnis der Gegenkathete(in dem Fall 8 cm) zur Seitenlänge a(unbekannt). Stellt man das um, erhält man:

a= 8cm/sin(45°)

So hast du die Seitnelänge eines Dreiecks. Da diese Seite( in dem Fall Kathete) gleich der anderen Kathete ist, weißt du 2 Seiten. Jetzt rechnest du die 3 Seite mit dem Satz des Pythagoras aus.

a²+b²=c²

Hier tritt ein Spezialfall auf: Da es ein gleichschenkliges Dreieck ist, ist a=b => 2a²=c². Nachdem du c ausgerechnet hast, rechnest du den Umfang aus. 2a +c.

Hoffe, ich konnte dir helfen.


LG, quasi

Trigonometrische Kenntnisse braucht man zum Lösen dieser Aufgabe nicht unbedingt.
Gegeben sei ein rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck ABC.

Es gibt zwei bzw. drei Möglichkeiten auf welcher Seite die Höhe aufliegt

Nochmal folgender Aufbau
Links Punkt A, rechts Punkt B und oben Punkt C.

Der rechte Winkel soll nun bei Punkt C liegen.
Jetzt gibt es drei mögliche Höhen. Eine liegt an der Strecke AB. In diesem Fall entspricht die Höhe der Strecke AC (rechter Winkel) und da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt gilt
|AB|=|AC|=8cm
Daraus folgt für |BC|
|BC|²=8²+8²=128

Falls die Höhe bei der Strecke BC anliegt, muss man etwas anders rechnen.
Die Höhe teilt das Dreieck in zwei gleichgroße rechtwinklige Dreiecke.
In einem dieser Dreiecke ist die Strecke AB die Hypothenuse.
Da das große Dreieck gleichschenklig ist, teilt die Höhe die Strecke BC in zwei gleichgroße Strecken BC/2
Es gilt
|AB|²=8²+(BC/2)²
Weiterhin gilt in dem großen Dreieck
|BC|²=|AB|²+|AC|²
Außerdem ist |AB|=|AC|
=>|BC|²=2|AB|²
Dies oben eingesetzt ergibt
|AB|²=8²+|AB|²/2
Jetzt noch nach |AB| auflösen
|AB|²=2*8²=128


Die Frage ist nur, wo die Höhe aufliegt, da ein Dreieck immer drei Höhen hat.

Edit:
@quasi
Das deckt sich auch mit deinen Ergebnissen
Mein |AB| entspricht dein a
Bekanntlich ist
sin(45°)=1/2*Wurzel(2)
Womit folgt
sin²(45°)=1/2
UNd damit ist a²=64/(1/2)=128

Wir haben da auch mal so ne Höhensatz gelernt, der lautet: h²= pq, wobei p und q die beiden Teilabschnitte sind, die durch den Punkt festgelegt werden, auf dem h auf c (Hypotenuse) trifft.
Schlagt mich wenn ich falsch liege. Und schlagt dann auch den Typen namens Euklid, denn der hat den entdeckt

Ja der Höhensatz ist bekannt.
Die Grundidee hinter dem Höhensatz ist aber widerum der Pythagoras.
Der Höhensatz lässt sich im allgemeinen Fall aus dem Pythagoras ähnlich oben geschildeter Rechnung herleiten.
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Seitenlängen a, b und c. Dabei beziehe sich die Höhe hc auf die Seite c. (Der rechte Winkel liege am Punkt C)
Die Höhe hc teilt dabei die Seite c in zwei Teilabschnitte p und q
Dann gilt in den kleinen Teildreiecken:
a²=(hc)²+q²
b²=(hc)²+p²
Im großen Dreieck gilt
c²=a²+b²
Außerdem gilt
p+q=c
Jetzt muss man die Gleichungen so ineinander einsetzen, dass man die Gleichung (hc)²=pq erhält
Dazu würde ich
q=c-p in die erste Gleichung einsetzen
a²=(hc)²+(c-p)²
Nun addiere ich zu dieser Gleichung die zweite Gleichung und erhalte
a²+b²=(hc)²+(c-p)²+(hc)²+p²=2(hc)²+(c-p)²+p²
Nun ist aber a²+b²=c²
=>c²=2(hc)²+(c-p)²+p²=2(hc)²+c²-2cp+2p²
<=>0=(hc)²-cp+p²
Nun noch c=p+q einsetzen
0=(hc)²-(p+q)p+p²=(hc)²-p²-pq+p²=(hc)²-pq
<=>(hc)²=pq
Wenn man nun diese Herleitung mit meiner obigen Rechnung vergleicht sollte einem die Analogie auffallen.
Wenn man also den Höhensatz anwendet, hat man im Prinzip das Ergebnis obiger Rechnung im Allgemeinen angewandt.
Und ich finde, dass der Höhensatz schon sehr speziell ist. Es ist wichtiger mit dem Pythagoras umgehen zu können, da dieser viel fundamentaler ist.

Ist eigentlich eine Herleitung von diesem Satz des Pythagoras bekannt, oder hatte Pythag. damals einfach nur zu viel Zeit, um herauszufinden, dass es immer zutrifft, dass die Summe zweier Kathetenquadrate gleich dem Hypothenusenquadrat ist.


LG, quasi

Nur etwas Bewiesenes darf sich in der Mathematik Satz nennen.
Andernfalls ist es eine Vermutung
So war z.B. die Poincaré-Vermutung jahrhunderte lang eine Vermutung.
Vor ein paar Jahren hat der sehr introvertierte russische Mathematiker Grigori Perelman die Poincaré-Vermutung bewiesen, seit dem darf dies auch Satz des Poincaré genannt werden.
Die Poincaré Vermutung gehört übrigens zu eines der großen Milleniumsprobleme dessen Lösung mit eine Million Us-Dollar und dem Erhalt der Fields-Medaile dotiert wurde. Die Fields-Medaille ist die höchste mathematische Auszeichnung und entspricht dem Nobelpreis. Einen Nobelpreis für Mathematiker gibt es nämlich nicht.
Perelman hat aber sowohl die eine Million Dollar als auch die Fields-Medaille abgelehnt, da es ihm um die Mathematik ging, nicht ums Geld oder Ruhm.
Das nenn ich einen echten Mathematiker.

Mal wieder zum Pythagoras
Der Satz des Pythagoras lässt sich auf viele Arten beweisen. Eine Möglichkeit werde ich gleich anführen. Zweifelhaft ist nur ob Pythagoras den Satz bewiesen hat. Den Äqyptern war er schon beim Pyramidenbau lange vor Pythagoras bekannt. Nur basierten in dieser Zeit die heutigen wichtigen geometrischen Sätze auf Erfahrung, da es eine streng strukturierte Mathematik noch nicht gab. Ich kann nicht sagen, wer ihn mathematisch als erstes hergeleitet hat.

Jetzt kommt eine mögliche Herleitung.

Gegeben sei ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b
In dieses Quadrat füge man verdreht ein kleineres Quadrat der Seitenlänge c, so ein, dass die Eckpunkte des inneren Quadrates die Kanten des äußeren Quadrates berühren.
Zur Verdeutlichung poste ich mal ein Bild dieser Figur.
(Es muss so aussehen wie das linke Bild)

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~heb...pythagoras.jpg

Dabei entstehen an den Ecken vier zueinander kongruente rechtwinklige Dreiecke. Die Hypothenuse der Dreiecke entspricht der Seitenlänge c des inneren Quadrates. Nun bezeichne ich die kürzere Kathete mit a und die längere Kathete mit b, so dass die Seitenlänge des äußeren Quadrates a+b entspricht.

Nun entspricht die Fläche des inneren Quadrates Ai=c²
Man kann die Fläche Ai auch auf eine andere Weise erhalten und zwar indem man zunächst die Fläche des äußeren Quadrates berechnet.
Sie entspricht A=(a+b)²
Wenn man nun die Fläche der vier Dreiecke davon subtrahiert, erhält man die Fläche Ai
Die Fläche eines dreiecks entspricht
AD=ab/2
Dann ist 4AD=2ab
und damit erhält man
Ai=A-4AD=(a+b)²-2ab=a²+2ab+b²-2ab=a²+b²
Nun wissen wir auch, dass Ai=c² gilt, also kann man beides gleichsetzen und man erhält den Satz des Pythagoras
c²=a²+b²

Wie rechnet man die Höhe aus? Wenn da steht: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse c = 6,5 cm und die Kathete a = 2,5 cm.

Aufgabe a.) Berechne die Länge der Seite b. ( Hab ich geschafft, die Lösung ist 6)
b.) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. ( Kann ich ja nicht da man g mal h durch 2 rechnen muss und ich die höhe noch nicht kenne)
c.) Berechne die Höhe hc. (Wie das geht weiß ich nicht)
d.) Berechne die Hypotenusenabschnitte p und q. (Wie das geht weiß ich auch nicht so genau^^)

Spiderzero

Wie rechnet man die Höhe aus? Wenn da steht: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse c = 6,5 cm und die Kathete a = 2,5 cm.

Aufgabe a.) Berechne die Länge der Seite b. ( Hab ich geschafft, die Lösung ist 6)
b.) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. ( Kann ich ja nicht da man g mal h durch 2 rechnen muss und ich die höhe noch nicht kenne)
c.) Berechne die Höhe hc. (Wie das geht weiß ich nicht)
d.) Berechne die Hypotenusenabschnitte p und q. (Wie das geht weiß ich auch nicht so genau^^)

Es gibt da noch ein paar Formeln für rechtwinkelige Dreiecke.

1) h² = p*q
2) a² = c*p
3) b² = c*q

Und der Flächeninhalt ist entweder 1/2 c*h oder 1/2 a*b

Das dürfte bestimmt reichen



LG, Dudka

sag mal Omega, hast Du Mathe studiert oderso? Ist mir jetzt schon paarmal aufgefallen

@Dudka... ich hab ehrlich gesagt nix verstanden

Spiderzero

@Dudka... ich hab ehrlich gesagt nix verstanden

Es gibt in der Mathematik für rechtwinkelige Dreiecke spezielle Formeln, die eben nur für jene zutreffen.

Das sind:

Der Satz des Pythagoras: a² + b² = c²
Der Höhensatz des Euklids: h² = p mal q (die beiden Hypothenusenabschnitte)
Sowie die beidne Kathetensätze: a² = p mal c und b² = q mal c

Auf deine Aufgabe speziell angewandt:

a² = p mal c, also p = a² /c = 6,25/6,5 = mit dem Taschenrechner ausrechnen

Jetzt q ausrechnen: q = b²/c = 36/6,5 = mit dem Taschenrechner ausrechnen

Zu Teilaufgabe b) A (Flächeninhalt) = 1/2 a*b also 1/2*2,5*6 = 7,5.

Und wenn du die Abschnitte p und q hast, nimmst du diese beiden Ergebnisse mal und ziehst anschließend die Wurzel, dann hast du die Höhe


LG, Dudka

Hey Jungs, ich muss bis Freitag eine Aufgabe in Mathe lösen, wenn ich es nicht mache bekomme ich eine 5 im Zeugnis, deswegen wollte ich euch fragen ob ihr mir dabei helfen könnt.
Und zwar es gibt 3 Möglichkeiten um den Höhensatz zu beweisen, aber welche sind die 3 Möglichkeiten, wenn ihr mir die nennen könnt wäre super genial, danke im Vorraus!

Dort findest du eine Möglichkeit


LG, Dudka