Thema: Reproduzierende Bevölkerung

Hallo ich bin grad dabei folgende Aufgabe zu brechenen:

Bestimmen Sie eine Startpopulation, die sich in jeder Generation reproduziert.

Matrix:
0 0 0 0,05 0,3
0,25 0 0 0 0
90 40 0 0 0
0 0 0,05 0 0
0 0 0 0,5 0

Ich habe jetzt ein LGS aufgesetllt:


0,05D+0,3E=A

0,25A=B

90A+40B=C

0,05C=D

0,5D=E




Ich weiss aber nicht was jetzt mein erster schritt sein soll?
brauche rat.


mfg

Eliminiere zunächst mit der letzten Gleichung das E in der ersten Gleichung. ersetze dann das D aus der ersten Gleichung mit Hilfe der vierten Gleichung durch ein C.
Eliminiere nun in der dritten Gleichung mit Hilfe der zweiten Gleichung das B.

Nun hast du zwei Gleichungen in denen jeweils ausschließlich ein A und ein C vorkommt.

Falls die Determinante der Matrix nicht null ist, bedeutet dies, dass die fünf Gleichungen linear unabhängig sind und dann sieht man auf einem Blick, dass nur die triviale lösung A=B=C=D=E=0 existiert.

Danke also ich habe jetzt

0.01C=A
90A=C

laut lösung:
0,4
0,1
40
2
1

Wie komme ich denn da rauf?

http://ne.lo-net2.de/selbstlernmater...ntwicklung.pdf

Hier ist die aufgabe

Die Determinante ist null. Dies bedeutet, dass die 5 Gleichungen nicht unabhängig voneinander sind.

Die erste Gleichung, welche du raushast stimmt. Die zweite Gleichung ist aber falsch.
Wenn ich die zweite Gleichung in die dritte einsetze erhalte ich 100A=C bzw. 0,01C=A. Du erhälst also zweimal dieselbe Gleichung.
Deshalb ist die Lösung nicht eindeutig und man kann einen Parameter t einführen. Ich definiere A=t
=> C=100t

Da wir jetzt A und C mit t ausgedrückt haben, können wir leicht die restlichen unbekannten mit Hilfe der anderen Gleichungen durch t ausdrücken.
Aus der zweiten Gleichung folgt:
B=0,25t

Aus der vierten Gleichung folgt damit:
D=5t

Aus der letzten Gleichung folgt:
E=2,5t

Der Vektor lautet damit:
v=t*(1, 0.25, 100, 5, 2.5)

nun kann man den parameter schließlich beliebig definieren. Es ist vollkommen gleichwertig, wenn man t durch einen anderen parameter r, so dass t=4r, ersetzt. Dann gilt nämlich
v=4r*(1, 0.25, 100, 5, 2.5)=r*(4, 1, 400, 20, 10)

Das ist genau die lösung, wobei es egal ist, ob du die darstellung mit t oder mit r angibst. Das ist eine gewisse Freiheit, die man dort hat.


Ich hoffe, dass dir Begriffe wie Determinante, lineare Abhängigkeit... etwas sagen. Schließlich sind nicht alle Gleichungssystemen mit n-Gleichungen und n Variablen eindeutig lösbar. Es gibt hier unendlich viele Lösungen, die alle von obiger Struktur sind.

Ok danke ich verstehs,
aber wieso ist A=1 und wieso haben die in den Lösungen andere Ergebnisse?
Das Gleichungssystem ist ja unendlich und mann´kann hallt r erweitern, aber es muss doch auch sein die lösung in deR Aaufgabe zu erreichen?

Mfg

R.Nadal

Ok danke ich verstehs,
aber wieso ist A=1 und wieso haben die in den Lösungen andere Ergebnisse?
Das Gleichungssystem ist ja unendlich und mann´kann hallt r erweitern, aber es muss doch auch sein die lösung in deR Aaufgabe zu erreichen?

Mfg

Es gibt nur einen Spezialfall für den A=1 ist. nämlich für t=1
Alle lösungen von A sind gegeben durch A=t mit t als irgendeine reelle Zahl

Genau genommen sind halt alle lösungen gegeben durch
t*(1, 0.25, 100, 5, 2.5)
mit t als irgendeine reelle Zahl
In der Aufgabe steht als Endlösung sowas
r*(4, 1, 400, 20, 10)
mit r als irgendeine reelle Zahl
es sollte sofort klar sein, dass beide Ausdrücke die gleiche Lösungsmenge beschreiben.
Im Kontext der Aufgabe ist es nun aber so, dass A, B, C, D und E natürliche Zahlen sein müssen. Deshalb multipliziert man den Vektor mit einer Zahl so dass alle Komponenten des Vektors natürlich werden. Dies geschieht indem ich den oberen Vektor mit 4 multipliziere. Dann erhalte ich das vorgegebene Ergebnis. Nun muss ich nur noch fordern, dass r natürlich ist, da das Produkt zweier natürlicher Zahlen natürlich ist.

Moin sorry für die blöde Frage, aber ich übe grad und ich habe irgendwie meine Probleme bei der Lösung von solchen LGS:

11/20x1 + 1/10x2 *1/20x3 =420

1/20x1 + 1/5x2 + 4/5x3 =1260

2/5x1 + 7/20x2 + 3/20x3 =2520


Ich mach dass immeer so, dass ich erst alle x1 gleich mache und dann sustrahier und dann alle x2 ... aber hier weiss ich nicht wie mein erster schritt sein soll.


lg

MOin vergesst das obige LGS das ist einfach ich kann das jetzt aber ich übe grad für eine Klausur am Montag und ich steht grad vor dem :

1: 2/3y + v2 z = x
2: 1/2x=y

3: 1/3y=z

Bitte helft mir wie geht man jetzt vor, weil man hat ja jetzt dieses v2 drinne anstatt einer Zahl, was da lösen schwierig macht.
Gruß, wäre für tipps dankbar

So nach einer Stunde grübeln und rumprobieren komme ich auch 3/2v2=x .
Kann das jemand bestätigen?

So leute ich glaub ich habs jetzt Ich komme auf:

1/3y v2 =4/3 y

umgeformt: yv2=4y geteilt durch y = v2=4 juhuuuuuuuuuuuuuu. ^^ müsste richtig sein ?