Thema: Polstellen und hebbare Lücken ?!

Hi Jungs,

Mittwoch schreibe ich ne Mathe - Klausur, beim Lernen bin ich über folgende Aufgabe gestolpert:



Bestimmen Sie auf Grundlage der gegebenen Eigenschaften die Gleichung einer gebrochen-rationalen Funktion f.

a. f hat einen Pol bei x=2 und eine hebbare Lücke x=-4

b. f hat einen Pol bei x=2 und keine Nullstellen

c. f hat Nullstellen bei x=-1 und x=1. Außerdem hat f eine Polstelle bei x=0 und eine hebbare Lücke bei x=2.



Vielleicht kann ja einer was damit anfangen und mir einen kurzen Gedankenanstoß geben

Hallo

Gebrochene rationale Funktionen sind Funktionen vom Typ

r(x)=f(x)/g(x)

dabei sind f(x) und g(x) polynomfunktionen

eine polstelle an der Stelle x liegt vor, wenn g(x)=0 und nicht f(x)=0

eine hebbare lücke an der Stelle x liegt vor, wenn f(x)=0, g(x)=0 und der Grenzwert f(x)/g(x) konvergiert. Dann ist der wert der Funktion an der Stelle x über den Grenzwert definiert.

nullstellen liegen vor, wenn f(x)=0 und entsprechend liegt keine nullstelle vor, wenn es kein x mit f(x)=0 gibt

bspw sähe dies bei a) so aus:
Es muss gelten g(2)=0, g(-4)=0, f(2)=0 und f(-4)!=0 (!= bedeutet ungleich)
über den grad der polynome f(x) und g(x) wird nichts gesagt, weshalb du diese beliebig wählen kannst. da g(x) mindestens zwei nullstellen haben soll, muss g(x) mindestens zweiter ordnung sein. das einfachste ist es also g(x) als g(x)=ax²+bx+c anzusetzen.
die koeffizienten a, b und c bestimmst du aus der forderung g(-4)=g(2)=0, ggf. kann ein übriggebliebener parameter beliebig festgesetzt werden
f(x) hat mindestens eine nullstelle. deshalb setz ich f(x) als lineare funktion an, womit auch gewährleistet ist, dass f(x) keine zweite nullstelle hat und damit sicherlich auch nicht f(-4)=0 gilt:
es ist f(x)=mx+k
k wird über die nullstellenbedingung festgelegt und m kann beliebig gewählt werden (außer m=0)
die funktion lautet dann
r(x)=(mx+k)/(ax²+bx+c)

sie konvergiert bei der lücke (x=-4) gegen
m/(-8a+b)
das heißt es darf nicht -8a+b=0 sein.

Hey, danke für deine Antwort.

Muss aber echt gestehen dass ich das nicht zu 100% verstanden habe.
Hier mal mein Lösungsansatz :

Da der Nenner bei 2 und -4 gleich null sein muss, und -4 eine hebbare Lücke ist, habe ich mir das so gedacht:

(x+4) / (x+4) (x-2)

Wo liegt denn da der Denkfehler, oder schreibt man das nicht in Polynomdarstellung ?

Danke ;-=

Markus368

Hey, danke für deine Antwort.

Muss aber echt gestehen dass ich das nicht zu 100% verstanden habe.
Hier mal mein Lösungsansatz :

Da der Nenner bei 2 und -4 gleich null sein muss, und -4 eine hebbare Lücke ist, habe ich mir das so gedacht:

(x+4) / (x+4) (x-2)

Wo liegt denn da der Denkfehler, oder schreibt man das nicht in Polynomdarstellung ?

Danke ;-=

Dein Ansatz ist richtig. wo solltest du da einen denkfehler haben?