Thema: Mathe Hilfe e-Funktion Kurvendiskussion

Hi leute,
bräuchte mal dringend eure Hilfe.
Ich habe totale Probleme bei dem oben genannten Thema. Inzwischen raucht mir so der Kopf, dass ich nicht mal die erste Ableitung von folgender Funktion auf die Reihe kriege:
k(x) = 2xe^2x

Morgen schreibe ich eine Klausur und bin gerade am verzweifeln, weil ich schon die einfachsten Dinge nicht mehr auf die Kette kriege.
Ich werde im Lauf des Abends dann wohl noch weitere Fragen posten.

Würdet mir das Leben retten mit eurere Hilfe!!!

Boxman 2.0

Hi leute,
bräuchte mal dringend eure Hilfe.
Ich habe totale Probleme bei dem oben genannten Thema. Inzwischen raucht mir so der Kopf, dass ich nicht mal die erste Ableitung von folgender Funktion auf die Reihe kriege:
k(x) = 2xe^2x

Morgen schreibe ich eine Klausur und bin gerade am verzweifeln, weil ich schon die einfachsten Dinge nicht mehr auf die Kette kriege.
Ich werde im Lauf des Abends dann wohl noch weitere Fragen posten.

Würdet mir das Leben retten mit eurere Hilfe!!!

k(x) = 2x * e^(2x) also, ja?

Müsstest die Produktregel anwenden. Und die e-Funktion abgeleitet müsste 2*e^2x sein...
Produktregel kann ich jetzt nicht auswendig, ist dir aber sicher ein Begriff.

Hab es jetzt mal ausprobiert :
(4*x + 2) * e^2*x = k(x)
kam bei mir raus..

Ich komm auf k'(x)=4x⋅e^(2x)+2e^(2x)

Boxman 2.0

Hab es jetzt mal ausprobiert :
(4*x + 2) * e^2*x = k(x)
kam bei mir raus..

Hmm...

Habe die Produktregel nachgeschaut.

Also würde ich's wie folgt ableiten:

2*e^2x + 2e^2x * 2x

Würde man dies noch zusammenfassen, erhält man das Ergebnis, das du oben angegeben hast. Also ja, ist richtig.
@Kaeptn Hook Ja, und jezt e^2x ausklammern!

Vom Rechnen bis zum posten verging zuviel Zeit, da ist mir Boxman zuvor gekommen

Danke euch beiden!
Hier hätte ich noch 2 Aufgaben bei denen ich glaube ich ziemlich großen Mist fabriziert habe: (1. Ableitung bilden)

Aufgabe 1:
j(x) = (x^3 -2) * (x^2 +1)

Mein Ergebnis:
j'(x) = (x^3 -2) * 2x + 3x^2 * (x^2 +1)
= 2x^4 -4x + 3x^4 + 3x^2
= 5x^4 + 3x^2 -4x

Aufgabe 2:
l(x) = (3-x)*e^-x

Mein Ergebnis:
l'(x) = (3-x) * -e^-x + (-1) * e^-x
= e^-x * -(3-x)-1

Aufgabe 1:

j(x) = (x^3 -2) * (x^2 +1)

Das lässt sich doch ganz einfach erstmal vereinfachen, also ausmultiplizieren.

j(x) = x^5 + x³ - 2x² - 2

Und die Ableitung davon ist ja mega einfach und stimmt mit deinem Ergebnis überein. Aber du hast es ziemlich umständlich gemacht.


Aufgabe 2:

Da habe ich am Ende l'(x) = -e^-x * (3-x)

Ja hab ich wohl ein wenig umständlich gemacht

Und zu Aufgabe 2 ! Könntest du vielleicht deinen Rechenweg posten?
Weil e^-x wird ja nur einmal abgeleitet, das heißt, es kann garnicht -e^-x ausgeklammert werden sondern NUR e^-x ?
Und der Rest ist mir auch unschlüssig :/

Boxman 2.0

Ja hab ich wohl ein wenig umständlich gemacht

Und zu Aufgabe 2 ! Könntest du vielleicht deinen Rechenweg posten?
Weil e^-x wird ja nur einmal abgeleitet, das heißt, es kann garnicht -e^-x ausgeklammert werden sondern NUR e^-x ?
Und der Rest ist mir auch unschlüssig :/

e^-x wird zu -e^-x abgeleitet.

Du musst dir quasi eine -1 vor dem x denken. Die Ableitung von -x wäre dann -1. Daher das Minus, das dir fehlt.


(3-x)*e^-x + -1*e^-x = -e^-x * (3-x)

Aber warum hast du hier:

InZendi

(3-x)*e^-x + -1*e^-x

Das erste (3-x)*e^-x + -1*e^-x
nicht abgeleitet ? Und ein zweites mal (3-x) müsste doch noch vorkommen oder nicht?

Weil die Produktregel war ja so, dass man U' * V + U * V'
Nach dem ableiten herausbekommt?

Also wenn U (3-x) sein soll und V e^-x ist.
Dann müsste ja folgendes rauskommen:
U' * V + U * V'
(-1) * e^-x + (3-x) * -e^-x


Edit:
Warte mal, warum kommt jetzt das raus was du hast O__O Okay dann hab ich mich wohl verrechnet
Aber trotzdem, es kommt dann ja jeweils ein e^-x raus und ein -e^-x raus.
Man kann dann ja nur e^-x ausklammern. Und -1 bleibt übrig.

Also müsste dann ja mein Ergebnis rauskommen oder nicht?

Boxman 2.0

= e^-x * -(3-x)-1

Boxman 2.0

Aber warum hast du hier:


Das erste (3-x)*e^-x + -1*e^-x
nicht abgeleitet ? Und ein zweites mal (3-x) müsste doch noch vorkommen oder nicht?

Weil die Produktregel war ja so, dass man U' * V + U * V'
Nach dem ableiten herausbekommt?

Also wenn U (3-x) sein soll und V e^-x ist.
Dann müsste ja folgendes rauskommen:
U' * V + U * V'
(-1) * e^-x + (3-x) * -e^-x

Du hast vollkommen Recht, ich habe das Minus vor (3-x) vergessen.
-(3-x)*e^-x + -1*e^-x

So stimmt's wieder.

So... und jetzt zusammenfassen bzw. ausklammern ... (-e^-x) * (3-x+1) = (-e^-x) * (4-x)

Hach jaa... Angaben ohne Gewähr.

InZendi

(-e^-x) * (4-x)

Kann man die -1 einfach mit in die Klammer mitreinnehmen?

Ich glaube dir ist wieder ein Fehler unterlaufen .
Es kommt kein -e^-x raus, da die eine -1 vor die Klammer kommt -(3x-x) und die andere -1 hinter die Klammer.

Ich hätte hier noch eine Aufgabe die bestimmt auch so in der Klausur vorkommt:

Aufgabe 3
a) Führen Sie für f(x) = 6xe^-x eine Kurvendiskussion durch.

Das sollte machbar sein, darauf gehen wir mal jetzt nicht ein :P

b)
Gegeben sei weiterhin g(x) = e^-x
Skizzieren Sie die Funktionsgraphen von f(x) und g(x) in einem gemeinsamen Koordinatensystem.

Hier weiß ich nun nicht wie ich vorgehen soll.
Heißt skizzieren wirklich nur skizzieren wie die Graphen ungefähr verlaufen sollen ? Also nichts genaues?
Muss man hier rechnen? Mein Problem ist es ja immer nachzuvollziehen, wie Schüler direkt sehen "Aha, die Funktion ist so und so, deshalb verläuft der Graph so und so".
Dies scheint auch so eine Aufgabe zu sein, wo man nur gucken muss und nicht rechnen?

c)
Berechnen Sie die Schnittpunkte von f(x) und g1(x).

Wie berechne ich das?!

d)
Wie lautet die Gleichung der Tangente an g(x) = e^-x an der Stelle 0 ?

Bahnhof. Ich bin bei solchen Aufgaben immer direkt hilflos und weiß nicht was ich machen soll

Zu der Aufgabe b)
Bei uns hat das einfach bedeutet die wichtigsten Merkmale der Funktion einzuzeichnen, damit man den groben Verlauf sehen kann.
Dein Taschenrechner hat doch bestimmt auch eine Einstellung in der man Funktionen eingeben kann?
Lass dir da einfach ein paar Werte ausrechnen und zeichne die dann ein.

bei c)
Bei Schnittpunkten musst du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen. Dann löst du nach x auf und die x-Werte, die du herausgefunden hast setzt du in eine Gleichung ein, damit du auch den y-Wert bekommst. So bekommst du generell deine Schnittpunkte heraus.

d)
Erst die Funktion ableiten, dann den Wert in die Ableitung einsetzen, das ist die Steigung der Tangente.
Dann setzt du bei deiner normalen Funktion die 0 einsetzen, damit du den y-Wert erhälst.
Und da du jetzt x- und y-Wert und m hast kannst du das einfach in y=mx+t einsetzen
Hier musst du ja nur noch t herausfinden, aber das sollte kein Problem sein.
Am Schluss schreibst du dann einfach y=(Wert von m)x + (Wert von t) und schon hast du die Tangentengleichung.

Ich hoffe das hat geholfen.

Den Verlauf der e-Funktion muss man aber im Kopf haben. Um e^(-x) zu erhalten, muss man e^x einfach an der y-Achse spiegeln.

Boxman 2.0

Mein Problem ist es ja immer nachzuvollziehen, wie Schüler direkt sehen "Aha, die Funktion ist so und so, deshalb verläuft der Graph so und so".

Sowas sieht niemand intuitiv, der nicht weiß, was e hoch irgendwas, oder sinus von irgendwas bedeutet. Aber das lernt man ja an der Schule. Der Trick ist einfach, die Graphen der elementaren Funktion zu kennen, als da wären: die trigonometrischen Funktion, log und exp, lineare Funktionen so wie einfache Polynome.
Wenn du weißt wie e^x aussieht, weißt du auch, wie e^-x oder 6e^x-1 aussieht. So lange du nur Konstanten, also Zahlen, als Faktoren oder Summanden inerhalb deiner Funktion hast, ist das ganze relativ einfach, auch ohne Taschenrechner.
Erst wenn man immer mehr Funktionen ineinander verschachtelt, kommen Dinger raus die man sich erst plotten muss

Boxman 2.0

b)
Gegeben sei weiterhin g(x) = e^-x
Skizzieren Sie die Funktionsgraphen von f(x) und g(x) in einem gemeinsamen Koordinatensystem.

Hier weiß ich nun nicht wie ich vorgehen soll.
Heißt skizzieren wirklich nur skizzieren wie die Graphen ungefähr verlaufen sollen ? Also nichts genaues?
Muss man hier rechnen? Mein Problem ist es ja immer nachzuvollziehen, wie Schüler direkt sehen "Aha, die Funktion ist so und so, deshalb verläuft der Graph so und so".

Wenn du etwas Genaues zeichnen müsstest, stünde in der Aufgabenstellung konkret: "Zeichnen sie die Graphen der Funktionen."
Du musst nicht rechnen,jedenfalls erwartet dein Lehrer keine Rechnung. Wenn du so siehst, wie die Graphen aussehen müssen, kannst du deine Skizze direkt anfertigen.
Dein Problem haben viele. Als ihr in der Schule zum ersten Mal mit Funktionen gearbeitet habt, habt ihr zunächst Wertetabellen erstellt und dann Graphen dazu gezeichnet.
Um zu sehen wie die Graphen zu deinen gegeben Funktionen verlaufen, kannst du auch erst ein paar Zahlen einsetzen.

c)
Berechnen Sie die Schnittpunkte von f(x) und g1(x).

Wie berechne ich das?!

Du setzt f und g1 einfach gleich. Also f(x) = g1(x) und berechnest x. Dann setzt du dein errechnetes x in einen der beiden Funktionsgleichungen ein und erhälst die dazugehörige y-Koordinate. Zur Probe solltest du das x dann noch in die jeweils andere Funktionsgleichung einsetzen. Es muss dabei dasselbe y rauskommen, wenn nicht, hast du dich irgendwo verrechnet.
Sollte dein x beim Gleichsetzen und Umformen verschwinden, gibt es zwei Möglichkeiten:
1) Du kriegst eine falsche Aussage heraus wie: 5=7, dann schneiden sich die Graphen nie und sind parallel zueinander.
2) Du kriegst eine wahre Aussage heraus wie 5=5, dann beschreiben deine Funkionen denselben Graphen, sprich: die Graphen sind identisch.

d)
Wie lautet die Gleichung der Tangente an g(x) = e^-x an der Stelle 0 ?

Bahnhof. Ich bin bei solchen Aufgaben immer direkt hilflos und weiß nicht was ich machen soll

Die allgemeine Geradengleichung lautet: y= m*x + b; m=Steigung; b= y-Achsenabschnitt
Das x ist vorgegeben, mit x=0. Das setzt du in die Gleichung der Funktion g ein und erhälst so dein f(x), also deinen y Wert.
Die erste Ableitung einer Funktion stellt seine Steigung dar, das heißt du bildest g'(x), setzt dort ebenfalls x=0 ein und bekommst so dein m. Jetzt fehlt dir nur noch dein b, aber eine Variable ist ja nicht schlimm, kannst du ausrechnen. In diesem Beispiel ist es sogar besonders einfach.