Thema: Mathe Beispiel!

Ich brauche Hilfe bei einem Mathe Beispiel, es geht um die geometrische Reihe

Die Seiten eines Quadrats werden im Verhältnis 2:3 geteilt. Die Teilungspunkte
bestimmen ein neues Quadrat. Diesem wird wieder ein Quadrat nach der obigen Vorschrigt eingeschrieben usw.

Gesucht: Berechne die Summer der Flächeninhalte und Umfänge aller Quadrate

Ich hoffe ihr könnt mir helfen....

mfg
Angel_of_Darkness

ich mach das mal für den flächeninhalt aller quadrate.
Nennen wir die seitenlänge des ausgangsquadrats mal a.
wenn man nun das quadrat im verhältnis 2:3 teilt. dann ist das eine teilstück 2/3a groß und das andere 1/3a.
Wenn man nun die Teilungspunkte zum Quadrat miteinander verbindet, so erhält man 4 rechtwinklige dreiecke, deren katheten einmal 2/3a und einmal 1/3 a lang sind. nach dem pythagoras ergibt sich das längenquadrat der hypothenuse zu 5/9*a². dies entspricht dem flächeninhalt des inneren quadrates.
Im nächsten schritt muss man dann die seite Wurzel(5)/3*a im verhältnis 2:3 teilen.
also 2Wurzel(5)/9*a und Wurzel(5)/9*a nach dem pythagoras erhält man den flächeninhalt zu 25/81 a² oder (5/9)²a²
Nach dieser rekursiven Vorgehensweise, vermute ich jetzt:
Für das n-te Quadrat beträgt der Flächeninhalt
A=(5/9)^(n-1)a²
Beweis erfolgt über vollständige Induktion.
Induktionsanfang A=(5/9)^0*a²=a². das ist korrekt
Induktionsvoraussetzung, für ein n€N gelte A=(5/9)^(n-1)a²
Induktionsschritt (schluss von n nach n+1):
Das n-te quadrat hat nach der Voraussetzung die seitenlänge b=(5/9)^[(n-1)/2]a
Dieses dreieck wird laut aufgabenstellung geteilt in die stücke
(5/9)^[(n-1)/2]/3*a und 2(5/9)^[(n-1)/2]/3*a
daraus ergibt sich die seitenlänge des (n+1)ten quadrats zu
(5/9)^(n-1)/9*a² +4(5/9)^(n-1)/9*a² =5(5/9)^(n-1)/9*a² =(5/9)(5/9)^(n-1)*a²=(5/9)^n*a²
q.e.d.
Damit stimmt die Behauptung also.

Mit diesem Resultat kann man gut weiterarbeiten.
Zur lösung der aufgabe, muss man über alle flächeninhalte aufsummieren. Das kommt dann damit gleich die summe über alle (5/9)^(n-1)*a² zu bilden.
Nach der geometrischen Summenformel ergibt dies A=((5/9)^(n-1)/(5/9-1)*a²=9(1-(5/9)^n)/4*a²
Nun muss man hier noch den limes für n gegen unendlich bilden und man erhält einen flächeninhalt von
A=3/2*a²
Gibts noch Fragen?

Danke für die Hilfe!
Fragen hab ich keine mehr
Der Thread kann also geclosed werden

mfg
Angel_of_Darkness

OmegaPirat

Nun muss man hier noch den limes für n gegen unendlich bilden und man erhält einen flächeninhalt von
A=3/2*a²
Gibts noch Fragen?

Ich hätte da noch eine Frage.
Man hat ja das Verhältnis 2:3 gehabt. Als Ergebnis kommt nun 3/2 a² raus.
Hat man jetzt ein Verhätlnis von c:d, kommt dann als Ergebnis dann d/c*a² raus, oder ist es nur Zufall, dass die Zahlen vom Verhältnis identisch mit den Zahlen des Bruches sind?


LG, Sibudka