Thema: Mathe

Deinen Satz kann man nicht beweisen, weil er falsch ist

Die Ableitung von a*sin(x) = a*cos(x), weil die Ableitung von sin (x) = cos (x) ist.


LG, quasi

ich habe ausversehen die zweite Ableitung hingeschrieben sry ist jezze richtig

Hi David
also der Beweis, dass die erste Ableitung der Sinusfunktion die Kosinusfunktion ist, ist vom Prinzip recht einfach zu verstehen, jedoch ziemlich aufwendig, da man einige goniometrische Theoreme nutzen muss.
Besonders in solch einem Forum ist es etwas schwierig die Notation darzustellen
Im Folgenden strebt in jedem Limes delta x gegen 0. Weiterhin bezeichne ich deltax mit dx, was eigentlich ein infinitesimales stück ist, aber hier ist leider kein formeleditor integriert.
Dann gilt für f(x)=sin(x)
f'(x)=lim((sin(x+dx)-sin(x))/dx)
Nun setze ich x+dx=u+v und x=u-v
Daraus folgt
lim((sin(x+dx)-sin(x))/dx)=lim((sin(u+v)-sin(u-v))/dx)
nach dem Additionstheorem sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a), der Punktsymmetrie sin(-a)=-sin(a), sowie der Achsensymmetrie cos(-a)=cos(a) folgt
lim((sin(u+v)-sin(u-v))/dx)=lim(sin(u)cos(v)+sin(v)cos(u)-sin(u)cos(v)+sin(v)cos(u))/dx)
=lim(2sin(v)cos(u)/dx)
Wenn man das gleichungssystem
u+v=x
und u-v=x+dx
nach u und v auflöst so erhält man
u=dx/2
v=x+dx/2
Also
lim(2sin(dx/2)cos(x+dx/2)/dx)=lim(sin(dx/2)cos(x+dx/2)/(dx/2))
Nun ist weiterhin folgende zerlegung legitim
lim(sin(dx/2)/(dx/2))*lim(cos(x+dx/2))
der rechte Grenzwert geht gegen cos(x), da dx/2 verschwindet. Außerdem bekommt man dort keine probleme mit nicht definierten ausdrücken.
Der linke Grenzwert dagegen ist schon etwas schwieriger zu bestimmen.
Solche grenzwerte bestimmt man einfach mit dem Satz von l'Hopital, was hier aber nicht zulässig ist, da wir so tun müssen als ob wir die Ableitung der Sinusfunktion nicht kennen.
Da gibt es aber einen Trick. Ich versuch mein bestes das zu beschreiben

Man stelle sich einen Einheitskreis vor (r=1). Innerhalb dieses Einheitskreises kann man bekanntlich die sinus und cosinusfunktion als seiten eines dreicks iinterpretieren, dessen hypothese dem Kreisradius r=1 entspricht.
Dieses Dreieck hat den Flächeninhalt
A=1/2sin(dx)cos(dx)
Weiterhin hat der Kreissektor zu dem der Kreisbogen mit dem Umfang dx gehört den Flächeninhalt A=dx/2
Außerdem kann man ein äußeres Dreieck so zeichnen, dass der Tangens der Gegenkathete des Dreicks in Bezug zum Innenwinkel entspricht, wohingegen die andere Kathete die Seitenlänge 1 hat
Der Flächeninhalt dieses Dreiecks entsprich A=tan(dx)/2
Aus diesen drei flächeninhalten lässt sich eine Ungleichung bilden
Anmerkung <= bedeutet kleiner-gleich
1/2sin(dx)cos(dx)<=dx/2<=tan(dx)/2
Weiterhin gilt tan(x)=sin(x)/cos(x)
1/2sin(dx)cos(dx)<=dx/2<=sin(dx)/cos(dx)2
<=>
cos(dx)<=dx/sin(dx)<=1/cos(dx)
<=>
1/cos(dx)<=sin(dx)/dx<=cos(dx)
lässt man dx gegen 0 streben, so ist mit cos(dx)->1
1<=sin(dx)/dx<=1
Diese Ungleichung kann nur
lim(sin(dx)/dx)=1 zur Lösung haben

Daraus folgt dann
lim(sin(dx/2)/(dx/2))*lim(cos(x+dx/2))=lim(cos(x+dx/2))=cos(x)
q.e.d.

noch eine kleine Anmerkung. Beim linken Grenzwert könnte man meinen, dass er gegen 1 gehen muss, da schließlich sowohl nenner als auch zähler gegen 0 streben, dies ist aber ein irrtum und führt hier nur zufällig zum grenzwert 1
Allgemein ist der ausdruck 0/0 nicht definiert, weshalb mathematisch vorige geometrische Überlegung notwendig war.

Den Faktor a in die Herleitung mit einzubinden sollte jetzt trivial sein.

Bei konkreten Fragen zu dieser Herleitung, kann gern gefragt werden.
Persönlich finde ich ist diese Herleitung keine geistige Herausforderung. Wenn man allerdings selbst darauf kommen möchte, so braucht man etwas an mathematischer Intuition und Erfahrung.

Thx Omega ....Hast mir sehr geholfen^^