Thema: Kettenregel

Hallo, im Prinzip geht es um eine einfache Aufgabe, jedoch komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. Die Aufgabe lautet

3x - 2
__________

(1 + x^2)^2

Ich habe mir gedacht, ich hole erst den Nenner nach oben und schreibe dazu ein Minus vor dem Exponenten. Dann könnte ich mit der Produktregel vorgehen und u und v ableiten, aber ich vermute das passt alles nicht ganz.
Mein zweiter Gedanke war erst im Nenner die Kettenregel anzuwenden und die äußere Ableitung mit der inneren zu mulitplizieren, um danach mit der Quotientenregel weiterzurechnen, aber das klappt ebenfalls nichts.

Meine Frage ist, wie man richtig vorgeht. Muss man erst die Kettenregel im Nenner anwenden und dann die Quotientenregel oder erst den Nenner nach oben holen und die Produktregel anwenden?

Das Ergebnis lautet übrigens


-9x^4 + 8x^3 - 6x^2 + 8x +3
________________________

(1+x^2)^4


Ich wäre über hilfreiche Antworten sehr dankbar.

Hey,

ich schlage vor, dass du zuerst die Quotientenregel anwendest:





Hier wende ich die Quotientenregel an:



Bleibt noch



abzuleiten.

Entweder wendest du zuerst die 1.binomische Formel an und leitest dann ab, oder du verwendest die Kettenregel.

Ich verwende hier die Kettenregel:



Nun müssen wir nur noch alles zusammenbasteln:



Und fertig.

Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast, jeden Schritt aufzuschreiben und dabei zu erklären.
Das sieht alles sehr logisch aus. Mein Fehler war wohl, dass ich zuerst die Kettenregel im Nenner benutzt habe. Dadurch hat sich mein Nenner am Ende verändert und ich kam nicht auf die (1+x^2)^4. Im Zähler hatte ich das gleiche Ergebnis wie du, aber beim Zusammenfassen kam ich nicht auf die vorgegebene Lösung, sondern auf 3 + 6x^2 +3x^4 - 3x + 8x + 8x^3
Das ergab im Zähler dann letztlich 3x^4 + 8x^3 + 6x^2 + 5x + 3
Aber es kann auch sein, dass ich mich verrechnet habe. Kommst du auf die gleiche Zusammenfassung?

Und vor allem stellt sich bei mir eine Frage, die mich sehr verwirrt.

Bei manchen Bruchaufgaben weiß ich, dass man den Nenner nach oben holt, indem man ein Minus vor dem Exponenten schreibt, danach kann man die Produktregel anwenden. Ich habe gedacht, dass das auch hier möglich sei. Bei anderen wiederum macht man es wie du. Für mich ist es ehrlich gesagt schwer zu erkennen, wann ich bei Bruchaufgaben die Produkt oder die Quotientenregel einsetzen muss. Vor einiger Zeit dachte ich, dass die Produktregel nicht bei Brüchen benutzt wird, aber dann sah ich, dass es doch möglich ist.

Wie erkennt man also, wann man bei Brüchen was einsetzen muss? Und kann man auch erst die Kettenregel nutzen oder kommt die erst nach der Produkt- /Quotientenregel? Spielt diese Reihenfolge eine wichtige Rolle?

CashPhlow

Aber es kann auch sein, dass ich mich verrechnet habe. Kommst du auf die gleiche Zusammenfassung?

Ja, du hast dich verrechnet. Ich komme nämlich auf die Lösung. Wenn magst, kann ich es dir (oder jemand anderes) vorrechnen.

CashPhlow

Wie erkennt man also, wann man bei Brüchen was einsetzen muss?

Beide Dinge sind möglich und erlaubt. Man nimmt normalerweise die Regel, die unkompliziert ist. In dem Fall war es die Quotientenregel.

CashPhlow

Und kann man auch erst die Kettenregel nutzen oder kommt die erst nach der Produkt- /Quotientenregel? Spielt diese Reihenfolge eine wichtige Rolle?

Du wendest die Regel an, die gerade gefragt ist.
In diesem Beispiel leitest du f(x) ab.
Daher wendest du die Quotientenregel an. Jedoch stellt sich dabei heraus, dass für diese Regel, die Kettenregel benötigt wird. Daher musst du dann, wie du oben siehst, sie bei dem letzten Teil, den ich g(x) genannt habe, anwenden.

(Wie willst du da vorher die Kettenregel anwenden? Du kannst zwar Teile von f(x) damit ableiten, aber nicht das Ganze.)

Danke für deine Antwort. Das stimmt,vorher würde es wohl nicht möglich sein die Kettenregel anzuwenden.
Es wäre sehr nett, wenn du mir noch einmal die Zusammenfassung vorrechnen würdest, damit ich sehe, an welcher Stelle ich mich verrechnet habe.
Aber es ist gut zu wissen, dass beide Methoden bei Brüchen möglich sind.

CashPhlow

Es wäre sehr nett, wenn du mir noch einmal die Zusammenfassung vorrechnen würdest, damit ich sehe, an welcher Stelle ich mich verrechnet habe.

CashPhlow

Aber es ist gut zu wissen, dass beide Methoden bei Brüchen möglich sind.

Wobei manchmal die eine Methode wesentlich einfacher anzuwenden ist

Ich danke dir sehr für diese ausführliche Zusammenfassung und deine Hilfe. Jetzt sehe ich auch, wo mein Fehler bei meiner Zusammenfassung war. Ich habe die Klammer in der 3x - 2 steht ausgelöst, indem ich das Vorzeichen geändert habe. Dann habe ich die 2 mit (4x + 4x^3) multipliziert.

CashPhlow

Ich danke dir sehr für diese ausführliche Zusammenfassung und deine Hilfe. Jetzt sehe ich auch, wo mein Fehler bei meiner Zusammenfassung war. Ich habe die Klammer in der 3x - 2 steht ausgelöst, indem ich das Vorzeichen geändert habe. Dann habe ich die 2 mit (4x + 4x^3) multipliziert.

Gern geschehen!

Oh ja, das ist eine häufige Fehlerquelle einfach mal Punkt vor Strich Rechnung bei dem Chaos zu vergessen

Übrigens wolfram hilft gerne und hat die seite wolframalpha.com ins netzt gestellt. Basierend auf den mathematica algorythmen kann die seite fast alles . Zb auch ableitungen und integrale ausrechnen sowie die zwischenschritte anzeigen. ein beispiel:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%283x-2%29%2F%281%2Bx^2%29^2