Thema: Integrieren einer Funktion

Hi!

ich hab mal wieder ein kleines mathematisches Problem: Ich will die Fläche über dem Integral

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S(x*e^(1-x))*dx bestimmen. Kann mir das bitte jemand erklären?
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Es reicht mir eigentlich schon, wenn ich die Stammfunktion habe. Das Ausrechnen ist ja nicht so schwer.

Danke schonmal.

chefchenko

Hi!

ich hab mal wieder ein kleines mathematisches Problem: Ich will die Fläche über dem Integral

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S(x*e^(1-x))*dx bestimmen. Kann mir das bitte jemand erklären?
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Es reicht mir eigentlich schon, wenn ich die Stammfunktion habe. Das Ausrechnen ist ja nicht so schwer.

Danke schonmal.

einfach einmal partiell integrieren
und setze dabei u=x, u'=1 sowie v'=e^(1-x), v=-e^(1-x)
der rest ist trivial.

Noch eine sache zur sprachlichen richtigkeit. Über einem Integral gibt es keine Fläche. Man kann aber das bestimmte Integral als eine Fläche über die zu integrierende Funktion interpretieren.

"Man kann aber das bestimmte Integral als eine Fläche über die zu integrierende Funktion interpretieren."

Manchmal bist du für deine Ansichten zu bewundern....

Könntest du etwas näher erläutern wie du das meinst?
es sei
Summe aller m_k*delta(x)<( oder gleich) Summe aller M_k*delta(x)
Dabei hat man ein intervall [a,b] zerlegt in abschnitte a<x1<x2<...<xn<b, die menge all dieser x ist die zerlegung Z, man wähle die Zerlegung hier so, dass x_k-x_(k-1)=delta(x)=const.
was man auch als intervalllänge von [x_(k-1), x_k] bezeichnet.
m_k ist dabei das Infinum einer funktion einer reellen Veränderlichen im Intervall [x_(k-1); x_k]
M_k entsprechend das Supremum
lässt man die zerlegung nun beliebig fein werden, so geht die linke seite in das bestimmte untere riemann integral über, die rechte seite geht ins obere bestimmte riemann integral über.
Sind unteres und oberes riemann integral identisch, so heißt eine funktion riemann integrierbar.
Diese Formulierung des Riemann-Integrals reicht aus, um alle bereits bekannten integrationsregeln, die aus der schule bekannt sind und noch viele mehr herzuleiten. Dieser Formalismus ist unabhängig von betrachteten Flächen. Abstrakte Formalismen entstehen zwar immer daraus, dass man zuerst die anschauliche Interpretation hatte, aber diese abstrakten formulierungen benötigt man, wenn man irgendwann mal in die höhere mathematik vordringen möchte.
Dass dies letztlich die interpretation von flächen hat, ist ja eine andere sache. Die Berechnung von flächen unter kurven ist eigentlich eine spezielle sichtweise des integralbegriffs.

genauso wie man das intervall anschaulich als ein abschnitt entlang der abszissenachse interpretieren kann, was man aber nicht so definiert.

OmegaPirat

Könntest du etwas näher erläutern wie du das meinst?...

Dass dies letztlich die interpretation von flächen hat, ist ja eine andere sache. Die Berechnung von flächen unter kurven ist eigentlich eine spezielle sichtweise des integralbegriffs.

Du hast ja völlig recht - und ich hab auch nicht einmal eine Fetzen eines Gedanken daran verschwendet dies anders zu sehen oder zu kritisieren oder noch schlimmer: etwas anderes zu behaupten. Ich wollte nur deiner Wortwahl huldigen.
Ich würde durchaus Flächen so interpretieren... aber ich bin ja auch nur Verhaltensforscher ....