Thema: Hilfe Mathe Analysis

Und zwar folgende Aufgabe:

die zahl 120 ist so in zwei zahlen m und n=120-m zu zerlgen, dass das Produkt aus m² und n maximal wird. Die Existenz des Maximums ist nachzuweisen. Die Ränder des Definitionsbereiches mmüssen nicht untersucht werden.

Danke schonma!
gruß

nun es sei:
f(n, m)=m²*n
eine nebenbedingung ist n=120-m
das bedeutet für die funktion
f(m)=m²*(120-m)=120m²-m³
dies soll maximal werden
=> f'(m)=240m-3m²=0
m=0 oder 240-3m=0 =>m=80
f''(m)=240-6m
f''(0)=240>0 => minimum, entfällt also
f''(80)=-240<0 => Maximum
es ist also m=80 und damit n=40.

vielen dank

Kann mir jemand sagen warum cos² x + sin² x = 1 ist?
Bin in der 12. Klasse [Anfang].

Kimmel

Kann mir jemand sagen warum cos² x + sin² x = 1 ist?
Bin in der 12. Klasse [Anfang].

schau dir dazu folgende zeichnung an
http://mathematik.uni-landau.de/roth...heitskreis.png

Dort siehst du einen Kreis mit dem Radius 1
Außerdem ist dort ein rechtwinkliges dreieck eingezeichnet.
in diesem dreieck gilt
sin(alpha)=grün/schwarz
die länge des schwarzen stückes ist 1
also sin(alpha)=grün/1=grün
außerdem ist cos(alpha)=rot
nach dem satz des pythagoras gilt in diesem rechtwinkligen dreieck
grün²+rot²=sin²(alpha)+cos²(alpha)=1²=1
das war zu zeigen.

Es kommt aber immer drauf an von welcher Definition der trigonometrischen Funktionen man ausgeht, man kann es auch ausgehend von der Potenzreihendefinition zeigen. Die geometrische Definition ist in der modernen Mathematik unüblich, aber historisch.
Da man in der schule die trigonometrischen Funktion nur über die Geometrie definiert, gehe ich mal davon aus, dass obiges erwartet wird.

OmegaPirat

Dort siehst du einen Kreis mit dem Radius 1
Außerdem ist dort ein rechtwinkliges dreieck eingezeichnet.
in diesem dreieck gilt
sin(alpha)=grün/schwarz
die länge des schwarzen stückes ist 1
also sin(alpha)=grün/1=grün
außerdem ist cos(alpha)=rot
nach dem satz des pythagoras gilt in diesem rechtwinkligen dreieck

Bis hierhin habe ich es verstanden, aber...

grün²+rot²=sin²(alpha)+cos²(alpha)=1²=1
das war zu zeigen.

...ich verstehe diesen Schritt noch nicht^^...

Kimmel

Bis hierhin habe ich es verstanden, aber...



...ich verstehe diesen Schritt noch nicht^^...

also du weißt schonmal
grün=sin(alpha)
rot=cos(alpha)

du hast jetzt in der zeichnung ein rechtwinkliges dreieck mit den katheten rot und grün, sowie der Hypothenuse schwarz.
Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras
grün²+rot²=schwarz²
und damit sin²(alpha)+cos²(alpha)=schwarz²
nun hat aber schwarz die länge 1, weil der radius 1 ist
also
sin²(alpha)+cos²(alpha)=1
ausführlicher gehts wirklich nicht.

Was mich noch stört. Das ist ja eigentlich nur deswegen 1, weil die Hypothenuse 1 ist. Wenn die Hypothenuse nicht 1 ist, dann wäre das ja nicht mehr so möglich.

Ich hätte da einen anderen Beweis.

Man stelle sich ein rechtwinkliges Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen a,b,c für die Seiten aus, c ist hierbei die Hypothenuse.

Es gilt: sin(alpha) = a/c , sprich gegenkathete/hypothenuse
Es gilt: cos(alpha) = b/c, sprich ankathete/hypothenuse

Der Satz des Pythagoras ist: a² + b² = c²
Man teilt durch c² und erhält: a²/c² + b²/c² = 1
Man wendet die Potenzgesetze an: (a/c)² + (b/c)² = 1
Man setzt sin(alpha) und cos(alpha) statt a/c bzw. b/c ein und erhält:
sin²(alpha) + cos²(alpha)=1

So würd ich das herleiten. Da spielt es dann auch keine Rolle, ob die Hypothenuse 1 ist, 3 ist oder 98058305.


LG, Sibudka

OmegaPirat

also du weißt schonmal
grün=sin(alpha)
rot=cos(alpha)

du hast jetzt in der zeichnung ein rechtwinkliges dreieck mit den katheten rot und grün, sowie der Hypothenuse schwarz.
Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras
grün²+rot²=schwarz²
und damit sin²(alpha)+cos²(alpha)=schwarz²
nun hat aber schwarz die länge 1, weil der radius 1 ist
also
sin²(alpha)+cos²(alpha)=1
ausführlicher gehts wirklich nicht.

Ah, jetzt hab ich's kapiert^^
Darauf hätte ich selber kommen können...
Danke schön^^

Sibudka

Was mich noch stört. Das ist ja eigentlich nur deswegen 1, weil die Hypothenuse 1 ist. Wenn die Hypothenuse nicht 1 ist, dann wäre das ja nicht mehr so möglich.

Ich hätte da einen anderen Beweis.

Man stelle sich ein rechtwinkliges Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen a,b,c für die Seiten aus, c ist hierbei die Hypothenuse.

Es gilt: sin(alpha) = a/c , sprich gegenkathete/hypothenuse
Es gilt: cos(alpha) = b/c, sprich ankathete/hypothenuse

Der Satz des Pythagoras ist: a² + b² = c²
Man teilt durch c² und erhält: a²/c² + b²/c² = 1
Man wendet die Potenzgesetze an: (a/c)² + (b/c)² = 1
Man setzt sin(alpha) und cos(alpha) statt a/c bzw. b/c ein und erhält:
sin²(alpha) + cos²(alpha)=1

So würd ich das herleiten. Da spielt es dann auch keine Rolle, ob die Hypothenuse 1 ist, 3 ist oder 98058305.


LG, Sibudka

Thx^^

Sibudka

Was mich noch stört. Das ist ja eigentlich nur deswegen 1, weil die Hypothenuse 1 ist. Wenn die Hypothenuse nicht 1 ist, dann wäre das ja nicht mehr so möglich.




LG, Sibudka

Man darf aber ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Hypothenuse 1 setzen und deine herleitung ist mit meiner gleichwertig.
von mir aus nimmt man einen kreis mit einem beliebigen radius r
Dann ist die eine Kathete r*sin(x) die andere r*cos(x) die hypothenuse hat dann die länge r
dann gilt (r*sin(x))²+(r*cos(x))²=r²
=>sin²(x)+cos²(x)=1
während ich durch r² dividiere, dividierst du durch c², was gleichwertig ist
das ist aber vollkommen überflüssig, weil man eine Beziehung herleitet, die invariant gegenüber den Kreisradius ist.

Der Sinus hat bei einem vorgegebenen Winkel genauso wie der Kosinus immer den gleichen Wert egal, wie lang die Hypothenuse gewählt wird. Und wegen dieser Invarianz setzt man den radius naheliegender weise auf 1.
Alle goniometrischen Beziehungen, die man am Einheitskreis herleitet sind allgemeingültig.

Hallo

Für t € R \ {0} sind die Funktionen ft gegeben durch ft(x) = (tx)/(x-1). Das Schaubild von ft sei Kt.
Für welchen Wert von t hat Kt die erste Winkelhalbierende als Tangente?

Meine Frage ist: Kann mir jemand die Aufgabe erklären? Ich verstehe die Fragestellung nicht o:.

Kimmel

Hallo

Für t € R \ {0} sind die Funktionen ft gegeben durch ft(x) = (tx)/(x-1). Das Schaubild von ft sei Kt.
Für welchen Wert von t hat Kt die erste Winkelhalbierende als Tangente?

Meine Frage ist: Kann mir jemand die Aufgabe erklären? Ich verstehe die Fragestellung nicht o:.

Die erste Winkelhalbierende ist die Gerade f(x)=x.
Diese verläuft nämlich durch den 1. und 3. Quadranten und halbiert den 90° Winkel zwischen x und y-Achse. Also unter einem Winkel von 45°. Daher der Name.

Die Aufgabe ist nun den Parameter t so zu bestimmen, dass die Gerade f(x)=x die Funktion ft(x)=(tx)/(x-1) in irgendeinem Punkt berührt, also eine Tangente von ft(x) ist.