Thema: Gleichungsaufgabe Problem

Hey an alle ich schreibe morgen eine wichtige Mathe Klausur und übe gerade,
dabei bin ich auf eine für mich unlösbare Aufgabe (Gleichung) gestoßen, vllt kann mir ja jemand helfen?

-1 ( x + 5 )² + 2x + 24 = (x - 2)² + ( x - 3 ) ( x + 3 )

(so heißt die Aufgabe) und ich bin jetzt so weit gekommen:

-1 ( x² + 10x + 25 ) + 2x + 24 = x² -4x + 4 + x² + 3x - 3x - 9

-x² - 10x - 25 + 2x + 24 = 2x² - 4x - 5

-1x² - 8x - 1 = 2x² - 4x - 5

egal (welche Nullstellenform) ob:
-3x² - 4x + 4 oder
3x² + 4x - 4

komm ich bei der Mitternachtsformel nicht weiter, weil irgendwann dann rauskommt

16-48 (in Wurzel) was mein Taschenrechner nicht ausrechnen kann und mein Nachhilfelehrer gemeint hat Negative Zahl in Wurzel seien nicht möglich.

Wäre nett wenn jemand sich die Mühe macht meinen Fehler zu finden :-)

Danke im vorraus
mfG Grauzonen

Hey!
Ist die Mitternachtsformel die p-q-Formel? Wenn ja dann komme ich auf ein anderes Ergebnis als du.
Die Umformungen sehen richtig aus. Aber du musst
3x^2+4x-4=0
noch durch 3 teilen. Also:
x^2+4/3x-4/3
Dann kommst du auf die richtigen Werte für x1 und x2.

Nounour

Hey!
Ist die Mitternachtsformel die p-q-Formel?

Die p-q-Formel ist die vereinfachte Version der Mitternachtsformel.

Danke auf jeden Fall, aber ich verstehe nicht ganz wieso man die 3x^2 durch 3 teilen muss, da man in der pq/mitternachtsformel auch mit beliebigen quadratzahlen rechnen muss... bin immer noch nicht auf das Ergebnis gekommen, in de Lösungen steht: x1= -2; x2= 2/3

:/

Grauzonen93

Danke auf jeden Fall, aber ich verstehe nicht ganz wieso man die 3x^2 durch 3 teilen muss, da man in der pq/mitternachtsformel auch mit beliebigen quadratzahlen rechnen muss... bin immer noch nicht auf das Ergebnis gekommen, in de Lösungen steht: x1= -2; x2= 2/3

:/

Du musst du Funktion durch 3 Teilen, damit du die pq-Formel benutzen kannst. Vor dem x² darf keine Zahl und auch vermute ich kein - , wenn du diese Formel benutzen willst. Von dieser Mitternachtsformel habe ich nie was gehört.

Dark_Phalanx

Von dieser Mitternachtsformel habe ich nie was gehört.

Die Mitternachtsformel ist eine lösungsformel für quadratische Gleichungen bei der man die quadratische Gleichung nicht vorher durch den Koeffizienten vor dem quadratischen Glied dividieren muss. D.h. die Mitternachtsformel löst die Gleichung ax²+bx+c=0, während die pq-Formel die Gleichung x²+px+q=0 löst.
Der Name "Mitternachtsformel" rührt - sofern ich mich richtig erinnere - daher, dass man diese Formel auch mitten in der Nacht, also Mitternacht, aus dem Stehgreif beherrschen sollte.

Ich persönlich benutze weder die pq- noch die Mitternachtsformel, sondern lös die quadratische Gleichung einfach, wenn denn mal eine als Zwischenschritt anfällt.
Diesen "Lösungsformelquatsch" habe ich nie verstanden. Die lineare Gleichung ax+b=c löst man auch einfach durch Umformungen anstatt sich eine Lösungsformel wie x=(c-b)/a auswendig zu merken.
Genauso kann man auch kubische Gleichungen ax³+bx²+cx+d=0 durch Umformungen und Substitutionen ganz einfach lösen. Bei der kubischen Gleichung gibt es auch eine Lösungsformel. Es ist aber nich nur eine Formel, sondern gleich ein ganzer Satz an Formeln und diese sind als die Formeln von Cardano bekannt. Die Lösungsformeln der Gleichung vierten Grades (also von ax^4+bx³+cx²+dx+e=0) sind die Formeln von Ferrari.
Für Gleichungn fünften und höheren Grades existieren keine Lösungsformeln mehr, wobei man dort mit der Theorie von Galois weiterkommt. Wenn man hingegen keinen mathematischen Anspruch hat, löst man die Gleichungen einfach numerisch.

OmegaPirat

Ich persönlich benutze weder die pq- noch die Mitternachtsformel, sondern lös die quadratische Gleichung einfach, wenn denn mal eine als Zwischenschritt anfällt.
Diesen "Lösungsformelquatsch" habe ich nie verstanden. Die lineare Gleichung ax+b=c löst man auch einfach durch Umformungen anstatt sich eine Lösungsformel wie x=(c-b)/a auswendig zu merken.

Wie löst du sonst quadratische Gleichungen?

Kimmel

Wie löst du sonst quadratische Gleichungen?

Durch Umformungen

Bsp:
zu lösen ist
x²+5x+2=0
x²+5x+2=(x+5/2)²-17/4=0
=> x=(-5+Wurzel(17))/2 und x=(-5-Wurzel(17))/2

Spätestens bei kubischen Gleichungen ist es von Vorteil, wenn man weiß, wie man Gleichungen richtig umformt. Die zugehörigen Lösungsformeln von Cardano kann sich kein Mensch merken.

Omega, das sehe ich ähnlich wie du, gerade wenn es um die Anwendung geht die über Abiturwissen hinausläuft. Wenn man aber gerade im mathematischen Umfeld nicht allzu versiert ist möchte wohl auch nichts studieren wo man sich tiefgehend damit befassen muss.

Betrachtet man nur das was man im Abitur können muss, dann ist das doch schon recht übersichtlich und auch einfach. Du wirst im Abitur seltenst auf kubische Gleichungen stoßen, maximal wenn es einmal um ableiten geht, aber diese kubischen Gleichungen auflösen, ich bezweifle das ein Grundkurs jemals damit in Kontakt kommt. Somit halte ich es für verständlich das Menschen mit einer Abneigung zur Mathematik sich an solchen Formeln klammern, einfach um das ganze hinter sich zu bringen.

Will man jetzt nun aber z.b. irgendwas Ingenieursmäßiges angehen (wie ich Maschinenbau), sollte man das auch per Hand lösen können und ein gewisses Grundverständnis mitbringen.

Zu den numerischen Lösungen, ich habe dieses Semester "Numerische Mathematik" und wir haben jetzt in der ersten Vorlesung lediglich über Iterationen, Fehlerabschätzungen (a priori, a posteriori) etc. gepsrochen, bzw. gehört. Ich bin gespannt was da noch auf mich zu kommt, ebenso aber auch in Strömungsmechanik, praktische Anwendungen von DGLs, wird Interessant.

Pánthéos

Betrachtet man nur das was man im Abitur können muss, dann ist das doch schon recht übersichtlich und auch einfach. Du wirst im Abitur seltenst auf kubische Gleichungen stoßen, maximal wenn es einmal um ableiten geht, aber diese kubischen Gleichungen auflösen, ich bezweifle das ein Grundkurs jemals damit in Kontakt kommt. Somit halte ich es für verständlich das Menschen mit einer Abneigung zur Mathematik sich an solchen Formeln klammern, einfach um das ganze hinter sich zu bringen.

Nur warum klammert man sich ausgerechnet bei quadratischen Gleichungen an Lösungsformeln?
Warum nicht bspw. bei Gleichungen vom Typ a*sin(x)+b*cos(x)=c
Die zugehörige Lösungsformel ist:
x=arcsin(ac/(a²+b²)-Wurzel((ac)²/(a²+b²)²+(b²-c²)/(a²+b²)))
Kann man sich bestimmt prima merken.

Zu den numerischen Lösungen, ich habe dieses Semester "Numerische Mathematik" und wir haben jetzt in der ersten Vorlesung lediglich über Iterationen, Fehlerabschätzungen (a priori, a posteriori) etc. gepsrochen, bzw. gehört. Ich bin gespannt was da noch auf mich zu kommt, ebenso aber auch in Strömungsmechanik, praktische Anwendungen von DGLs, wird Interessant.

Ich bin kein Numerikfan, aber die Navier-Stokes-Gleichung (Grundgleichung der Strömungsmechanik) ist schon was Feines.
Ich finde generell Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen, wie über Greenfunktionen, Fouriertransformation etc. sehr interessant. Auch interessant finde ich, dass man mit Green eine allgemeine Lösung zur folgenden Gleichung angeben kann.
Es sei f(x1, x2, ...xn) eine beliebig oft differenzierbare Funktion und D(f(x1, ..., xn), df/x1, df/dx2, ...df/dxn, d²f/(dx1²), d²f/(dx1dx2)....., d^mf/(dx1^m), d^mf/(dx1^(m-1)dx2)...)
ein Differentialoperator, der eine linearkombination aller partiellen Ableitung bis zur m-ten Ordnung beinhaltet. Dann ist
Df(x1, x2, ..., xn)=g(x1, x2, ..., xn) eine lineare inhomogene partielle Differentialgleichung m-ter Ordnung, wobei g eine andere stetige Funktion ist
Man kann nun tatsächlich für diesen ausgesprochen allgemeinen Fall eine formale Lösung angeben.
Der Weg dahin erfolgt über das Deltadistributional und einer Fouriertransformation. Ich bin ein Fan von Allgemeinheit.

OmegaPirat

Durch Umformungen

Bsp:
zu lösen ist
x²+5x+2=0
x²+5x+2=(x+5/2)²-17/4=0
=> x=(-5+Wurzel(17))/2 und x=(-5-Wurzel(17))/2

Wie es aussieht, hast du das über die quadratische Ergänzung gemacht. Die Mitternachtsformel macht ja auch nichts anderes als diese dir zu ersparen. Deswegen finde ich sie gar nicht mal so schlecht. Natürlich muss man wissen, wie diese zustande kommt bzw. wie man sie eigentlich löst, aber wenn man das weiß, dann kann man, finde ich, ruhig die Formel nutzen.

Kimmel

Wie es aussieht, hast du das über die quadratische Ergänzung gemacht. Die Mitternachtsformel macht ja auch nichts anderes als diese dir zu ersparen. Deswegen finde ich sie gar nicht mal so schlecht. Natürlich muss man wissen, wie diese zustande kommt bzw. wie man sie eigentlich löst, aber wenn man das weiß, dann kann man, finde ich, ruhig die Formel nutzen.

Und die quadratische Ergänzung ist ein ganz gewöhnlicher Umformungsschritt. Ich erweitere einfach die Gleichung und löse dann auf.
Genauso könnte ich behaupten, dass ich bei der Gleichung
ax+b=0 einfach nur das b rüber hole und dann durch a dividiere. Also x=-b/a.
Die lösungsformel x=-b/a erspart mir aber diesen Schritt. Ich finde es jedenfalls nicht sinvoll die Lösung dieses speziellen Gleichungstyps auswendig zu lernen.
Statt sich die Lösungsformel der quadratischen Gleichung auswendig zu merken, sollte die quadratische Ergänzung als normaler Umformungsschritt verstanden werden. Ähnlich wie wenn ich eine Variable durch addition oder subtraktion auf die andere Seite der Gleichung bringe.

Wie würdest du eine kubische Gleichung ax³+bx²+cx+d=0 lösen, wenn alle Lösungen so krumm sind, dass du keine Lösung raten kannst, um sie über die Polynomdivision zu reduzieren, also z.B. x³+x²+x+1=0? Auch diese könnte man ganz allgemein auflösen. Kubische Gleichungen kann man nur lösen, wenn man ein wirklich gutes intuitives Verständnis geeigneter Erweiterungen und Substitutionen hat. Das trainiert man aber nicht, wenn man sich Lösungsformeln auswendig merkt und prompt scheitert man bei einem anderen Gleichungstyp.
Bis zu Gleichungen vierter Ordnung geht das noch gut. Ab Gleichungen fünfter Ordnung muss man noch härtere Geschütze wie Galoistheorie auffahren.


Die quadratische Gleichung ist ein spezieller Gleichungstyp von beliebig vielen und diese Gleichung zeichnet sich durch keine Besonderheit aus.

OmegaPirat

Und die quadratische Ergänzung ist ein ganz gewöhnlicher Umformungsschritt. Ich erweitere einfach die Gleichung und löse dann auf.
Genauso könnte ich behaupten, dass ich bei der Gleichung
ax+b=0 einfach nur das b rüber hole und dann durch a dividiere. Also x=-b/a.
Die lösungsformel x=-b/a erspart mir aber diesen Schritt. Ich finde es jedenfalls nicht sinvoll die Lösung dieses speziellen Gleichungstyps auswendig zu lernen.
Statt sich die Lösungsformel der quadratischen Gleichung auswendig zu merken, sollte die quadratische Ergänzung als normaler Umformungsschritt verstanden werden. Ähnlich wie wenn ich eine Variable durch addition oder subtraktion auf die andere Seite der Gleichung bringe.

Natürlich ist es nicht gut, wenn man stur die Lösungsformel nutzt und nicht weiß, was die quadratische Ergänzung ist. Aber was spricht dagegen, wenn man es weiß?
Zumal es für viele einfacher ist, sich die Formel zu merken anstatt über den Weg über die quadratische Ergänzung zu gehen.

Wie würdest du eine kubische Gleichung ax³+bx²+cx+d=0 lösen, wenn alle Lösungen so krumm sind, dass du keine Lösung raten kannst, um sie über die Polynomdivision zu reduzieren, also z.B. x³+x²+x+1=0?

Ich kenne bisher kein anderes Verfahren, um kubische Gleichung zu lösen. Solche Gleichungen löse ich dann mit dem grafikfähigen Taschenrechner.

Auch diese könnte man ganz allgemein auflösen. Kubische Gleichungen kann man nur lösen, wenn man ein wirklich gutes intuitives Verständnis geeigneter Erweiterungen und Substitutionen hat. Das trainiert man aber nicht, wenn man sich Lösungsformeln auswendig merkt und prompt scheitert man bei einem anderen Gleichungstyp.
Bis zu Gleichungen vierter Ordnung geht das noch gut. Ab Gleichungen fünfter Ordnung muss man noch härtere Geschütze wie Galoistheorie auffahren.

Das macht man aber leider nicht in der Schule, aber im Studium vermute ich mal.

Kimmel

Natürlich ist es nicht gut, wenn man stur die Lösungsformel nutzt und nicht weiß, was die quadratische Ergänzung ist. Aber was spricht dagegen, wenn man es weiß?
Zumal es für viele einfacher ist, sich die Formel zu merken anstatt über den Weg über die quadratische Ergänzung zu gehen.

Was zeichnet nun diese Gleichung gegenüber allen anderen Gleichungen aus, dass man ausgerechnet hier die Lösungsformel auswendig lernt?

Ich kenne bisher kein anderes Verfahren, um kubische Gleichung zu lösen. Solche Gleichungen löse ich dann mit dem grafikfähigen Taschenrechner.

Der Taschenrechner gibt aber nur numerische Ergebnisse wieder.

Das macht man aber leider nicht in der Schule, aber im Studium vermute ich mal.

Das Lösen kubischer Gleichungen ist wirklich simpel. Es besteht aus zwei Teilschritten.
Ich kann es hier mal schnell anhand der Gleichung x³+x²+x-1=0 demonstrieren
Ich substituriere x=y+u. dabei ist u eine unbekannte noch wählbare Zahl und y die neue Variable.

Dies setz ich in die Gleichung ein
=>
(y+u)³+(y+u)²+u+y-1=y³+3y²u+3yu²+u³+y²+2yu+u²+u+y-1=0
Der übersichtshalber sortier ich die Terme noch ein wenig um.

y³+(3u+1)y²+(3u²+2u+1)y+(u³+u²+u-1)=0

Mit dem u habe ich nun einen neuen Freiheitsgrad in die Gleichung eingebracht mit dem ich die Gleichung nun vereinfachen kann. So kann ich bspw. u so wählen, dass das quadratische Glied rausfliegt. Dies gelingt mit u=-1/3
Nun setzt ich u=-1/3 in die Gleichung ein.
=>
y³+2/3*y-34/27=0

Damit habe ich die Gleichung schonmal vom quadratischen Glied befreit.
Nun substituier ich y=A+B.
=>
(A+B)^3+2/3*(A+B)+3/4=A³+3A²B+3AB²+B³+2/3*(A+B)-34/27=0
Also im Prinzip das gleiche was ich im ersten Schritt auch gemacht habe.

Nun sortier ich die Terme wieder ein wenig und klammere ein wenig aus. dann sieht das ganze etwa so aus
A³+B³-34/27+(3AB+2/3)(A+B)=0
Man kann sich leicht davon überzeugen, dass diese Gleichung identisch zur vorigen Gleichung ist.
Nun ist diese Gleichung bspw. gelöst, wenn
A³+B³-34/27=0 und (3AB+2/3)(A+B)=0
A+B=0 ist keine lösung, weil wenn man das in ersteres einsetzt, kommt man zu einem Widerspruch
Also bleibt zu lösen
A³+B³-34/27=0
und
3AB+2/3=0
Letzteres löse ich nach B auf.
=> B=-2/(9A) und jetzt noch in ersteres einsetzen
=>
A³-8/(729A³)-34/27=0 multiplikation mit A³ ergibt
A^6-34/27*A³-8/729=0
Das ist eine Gleichung 6. Ordnung. Im Prinzip handelt es sich aber um eine quadratische Gleichung, was man sieht, wenn man bspw. z=A³ substituiert
=>
z²-34/27*z-8/729=0
Das ist nun eine gewöhnliche quadratische Gleichung, die man mit seinem persönlichen Lieblingsverfahren lösen kann.

=> z1/2=17/27+/-Wurzel(11/27)=A³
=> A=(17/27+/-Wurzel(11/27))^(1/3)
Analog erhält man B
B=(17/27-/+Wurzel(11/27))^(1/3))
Nach wie vor gilt für die Lösungen die Bedingung 3AB+2/3=0
Daraus folgt schonmal, dass A und B unterscheidbar sein müssen, da sonst 3A²+2/3=0 gelten müsste. Aus dieser Gleichung erhält man aber eine Lösung von A, die mit keiner der beiden Lösungen von A übereinstimmt.
Deshalb kann man die Vorzeichen vor der Wurzel bspw. so wählen
A=(17/27+Wurzel(11/27))^(1/3) und B=(17/27-Wurzel(11/27))^(1/3)
Damit erhält man schonmal eine von drei Lösungen
nämlich y=A+B=(17/27+Wurzel(11/27))^(1/3)+(17/27-Wurzel(11/27))^(1/3)
=> x=(17/27+Wurzel(11/27))^(1/3)+(17/27-Wurzel(11/27))^(1/3)-1/3

Es existieren noch zwei komplexwertige lösungen. Diese erhält man, wenn man eine andere Linearkombination der beiden Fundamentallösungen A und B bildet. Aus gewissen überlegungen erhält man die anderen beiden Lösungen durch
x2=1/2*(-1+i*Wurzel(3))*A+1/2*(-1-i*Wurzel(3))*B und
x3=1/2*(-1-i*Wurzel(3))*A+1/2*(-1+i*Wurzel(3))*B
Dabei ist i die imaginäre Einheit. Es ist also i²=-1

Der Taschenrechner gibt aber nur numerische Ergebnisse wieder.

Numerische Ergebnisse = Annäherungen?

Das Lösen kubischer Gleichungen ist wirklich simpel. Es besteht aus zwei Teilschritten.
Ich kann es hier mal schnell anhand der Gleichung x³+x²+x-1=0 demonstrieren
Ich substituriere x=y+u. dabei ist u eine unbekannte noch wählbare Zahl und y die neue Variable.

Wieso kann/darf ich u freiwählen?

(A+B)^3+2/3*(A+B)+3/4=A³+3A²B+3AB²+B³+2/3*(A+B)-34/27=0
Also im Prinzip das gleiche was ich im ersten Schritt auch gemacht habe.

Nun sortier ich die Terme wieder ein wenig und klammere ein wenig aus. dann sieht das ganze etwa so aus
A³+B³-34/27+(3AB+2/3)(A+B)=0

Tippfehler?

Es existieren noch zwei komplexwertige lösungen. Diese erhält man, wenn man eine andere Linearkombination der beiden Fundamentallösungen A und B bildet. Aus gewissen überlegungen erhält man die anderen beiden Lösungen durch
x2=1/2*(-1+i*Wurzel(3))*A+1/2*(-1-i*Wurzel(3))*B und
x3=1/2*(-1-i*Wurzel(3))*A+1/2*(-1+i*Wurzel(3))*B
Dabei ist i die imaginäre Einheit. Es ist also i²=-1

Dies ist mir jetzt zu hoch Aber danke!

Ich habe es jetzt verstanden und weiß wo mein Fehler lag.
Danke auf jeden Fall für die Hilfe! Jetzt weiß ich warum ich bei den restlichen 3 Aufgaben auch nicht weiterkam!
:-)

Numerische Ergebnisse = Annäherungen?

Ja

Wieso kann/darf ich u freiwählen?

Man verschiebt einfach die Lösung um u Einheiten. Ich könnte bspw. x=y+3 setzen, ohne dass ich was falsch mache. In diesem Beispiel ist die additive Zahl 3. Ich möchte die additive Zahl aber so wählen, dass die Gleichung sich durch diese Verschiebung möglichst stark vereinfacht. Ich weiß aber nicht durch welches u dies am besten geht. Deshalb lass ich das u zunächst unbestimmt und setz den Ausdruck x=y+u ein. Dadurch erhalte ich u.a. eine bestimmungsgleichung für den Koeffizienten vor dem quadratischen Glied. Diese Gleichung enthält das u. Ich wähle das u dann einfach so, dass der Koeffizient des quadratischen Glieds verschwindet, wodurch ich eine Vereinfachung erzielt habe.

Das gleiche kann man übrigens auch bei einer quadratischen Gleichung machen. Dann siehst du nochmal eine Alternative zur quadratischen Ergänzung
Zu lösen ist x²+px+q=0
Ich setze x=y+u. dabei ist y die neue variable. Einsetzen ergibt
(y+u)²+p(y+u)+q=y²+2yu+u²+py+pu+q=0
Ich sortiere jetzt ein wenig die Terme
=> y²+(2u+p)y+u²+pu+q=0
Der lineare Term verschwindet mit u=-p/2
Dies setz ich ein
=> y²-p²/4+q=0
=> y²=p²/4-q=> y=+/-Wurzel(p²/4-q)
Jetzt muss man noch die Substitution einführen
x=p/2+/-Wurzel(p²/4-q)
Und das ist die allseits bekannte pq-formel

Diese Vorgehensweise ist bei quadratischen Gleichungen nicht zwingend notwendig und erscheint vielleicht als übertrieben, aber bei kubischen Gleichungen muss man das so machen. Zudem bestehen fortgeschrittenere Anwendungen darin, dass man Testfunktionen mit mehreren freien Parametern verwendet und die Parameter dann so wählt, dass man das bestmögliche Ergebnis erzielt.
Die Landau-Theorie ist eine physikalische Theorie über Phasenübergänge, welche ausschließlich darauf basiert, dass man irgendwelche freien Parameter einführt und diese so wählt, wie es für das konkrete Problem am besten passt. Ich hasse diese Theorie übrigens.

Tippfehler?

Ich hatte mich irgendwo verrechnet, weshalb ich überall einen Summanden korrigieren musste. An dieser einen Stelle hab ich das wohl vergessen.

Dies ist mir jetzt zu hoch Aber danke!

Das ist nicht schwer, wenn du dich bereits mit komplexen Zahlen beschäftigt hast.


@Kimmel
Kannst du mal deinen Posteingang ein wenig leeren? Ich wollte dir eine Pn schicken. Daraus wird aber nichts weil dein Eingang voll ist.

OmegaPirat

Man verschiebt einfach die Lösung um u Einheiten. Ich könnte bspw. x=y+3 setzen, ohne dass ich was falsch mache. In diesem Beispiel ist die additive Zahl 3. Ich möchte die additive Zahl aber so wählen, dass die Gleichung sich durch diese Verschiebung möglichst stark vereinfacht. Ich weiß aber nicht durch welches u dies am besten geht. Deshalb lass ich das u zunächst unbestimmt und setz den Ausdruck x=y+u ein. Dadurch erhalte ich u.a. eine bestimmungsgleichung für den Koeffizienten vor dem quadratischen Glied. Diese Gleichung enthält das u. Ich wähle das u dann einfach so, dass der Koeffizient des quadratischen Glieds verschwindet, wodurch ich eine Vereinfachung erzielt habe.

Das gleiche kann man übrigens auch bei einer quadratischen Gleichung machen. Dann siehst du nochmal eine Alternative zur quadratischen Ergänzung
Zu lösen ist x²+px+q=0
Ich setze x=y+u. dabei ist y die neue variable. Einsetzen ergibt
(y+u)²+p(y+u)+q=y²+2yu+u²+py+pu+q=0
Ich sortiere jetzt ein wenig die Terme
=> y²+(2u+p)y+u²+pu+q=0
Der lineare Term verschwindet mit u=-p/2
Dies setz ich ein
=> y²-p²/4+q=0
=> y²=p²/4-q=> y=+/-Wurzel(p²/4-q)
Jetzt muss man noch die Substitution einführen
x=p/2+/-Wurzel(p²/4-q)
Und das ist die allseits bekannte pq-formel

Diese Vorgehensweise ist bei quadratischen Gleichungen nicht zwingend notwendig und erscheint vielleicht als übertrieben, aber bei kubischen Gleichungen muss man das so machen. Zudem bestehen fortgeschrittenere Anwendungen darin, dass man Testfunktionen mit mehreren freien Parametern verwendet und die Parameter dann so wählt, dass man das bestmögliche Ergebnis erzielt.
Die Landau-Theorie ist eine physikalische Theorie über Phasenübergänge, welche ausschließlich darauf basiert, dass man irgendwelche freien Parameter einführt und diese so wählt, wie es für das konkrete Problem am besten passt.

Danke! Jetzt hab ich's verstanden.

Ich hasse diese Theorie übrigens.

Ich hatte mich irgendwo verrechnet, weshalb ich überall einen Summanden korrigieren musste. An dieser einen Stelle hab ich das wohl vergessen.

Ok.

Das ist nicht schwer, wenn du dich bereits mit komplexen Zahlen beschäftigt hast.

Das habe ich leider noch nicht und das werd ich warscheinlich in der Schule auch nicht mehr machen, da ich bereits in der 13.Klasse bin... Na ja, vllt. im Mathe-Studium, falls ich mich dafür entscheide.

@Kimmel
Kannst du mal deinen Posteingang ein wenig leeren? Ich wollte dir eine Pn schicken. Daraus wird aber nichts weil dein Eingang voll ist.

Ist passiert! Man kann mir wieder Nachrichten schicken.

Kimmel

Ja lach du nur. Finde erstmal eine Theorie, die nerviger als die Landau-Theorie ist. Ich habe bislang keine Theorie gesehen, die derartig viele merkwürdige Annahmen und Ansätze benötigt und ich beherrsch diese Theorie bis heute nicht einmal wirklich.

Das habe ich leider noch nicht und das werd ich warscheinlich in der Schule auch nicht mehr machen, da ich bereits in der 13.Klasse bin... Na ja, vllt. im Mathe-Studium, falls ich mich dafür entscheide.

Falls du dich für ein Mathestudium entscheidest, wirst du das unmittelbar im ersten Semester machen. Man fängt im Studium bei Adam und Eva an. Das heißt man führt zunächst den Zahlenbegriff ein und dort holt man das Versäumnis der Schule nach die komplexen Zahlen einzuführen. Komplexe Zahlen sind eine Verallgemeinerung der reellen Zahlen.

Zudem bringt man den Zahlenbegriff auf einen viel formaleren und systematischeren Nenner als es in der Schule der Fall ist. Dies gelingt durch Einführung des Körperbegriffs. Die Menge der reellen Zahlen ist ein eindimensionaler Körper. Die Menge der komplexen Zahlen ist ein zweidimensionaler Körper.
Die Menge der komplexen Zahlen lässt sich noch zur Menge der Quaternionen verallgemeinern. Dabei handelt es sich um einen vierdimensionalen Schiefkörper. Darüber habe ich meine Facharbeit in der 12. Klasse geschrieben.

OmegaPirat

Ja lach du nur. Finde erstmal eine Theorie, die nerviger als die Landau-Theorie ist. Ich habe bislang keine Theorie gesehen, die derartig viele merkwürdige Annahmen und Ansätze benötigt und ich beherrsch diese Theorie bis heute nicht einmal wirklich.

Leider kenne ich die Theorie nicht wirklich (ja, ich habe danach gegooglet).

Falls du dich für ein Mathestudium entscheidest, wirst du das unmittelbar im ersten Semester machen. Man fängt im Studium bei Adam und Eva an. Das heißt man führt zunächst den Zahlenbegriff ein und dort holt man das Versäumnis der Schule nach die komplexen Zahlen einzuführen. Komplexe Zahlen sind eine Verallgemeinerung der reellen Zahlen.

Zudem bringt man den Zahlenbegriff auf einen viel formaleren und systematischeren Nenner als es in der Schule der Fall ist. Dies gelingt durch Einführung des Körperbegriffs. Die Menge der reellen Zahlen ist ein eindimensionaler Körper. Die Menge der komplexen Zahlen ist ein zweidimensionaler Körper.
Die Menge der komplexen Zahlen lässt sich noch zur Menge der Quaternionen verallgemeinern. Dabei handelt es sich um einen vierdimensionalen Schiefkörper. Darüber habe ich meine Facharbeit in der 12. Klasse geschrieben.

Ist ein Mathe-Studium hart?