Thema: Frage zu Definitionslücken

Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Aufgabe.

Gegeben ist die Funktion: y = [2x² - 4x] / [2x² - 8x + 8]. Gesucht sind die Definitionslücken und Nullstellen der Gleichung. Anschließend soll man den Graph skizzieren.

Ich habe jetzt Definitionslücke bei x=2 gefunden. Die Nullstellen der Funktion liegen bei x=2 und x=0, wobei die Funktion für x=2 nicht definiert ist. Damit ist die einzige Nullstelle bei x=0.

So jetzt zum eigentlichen Problem: Wir haben gelernt, dass wenn eine Nullstelle sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt, es eine stetig behebbare Definitionslücke ist. Also, versuche ich Zähler und Nenner zu faktorisieren und komme auf diesen Term: y= [(2x-4) * x] / [(2x-4) * (x-2)]. Wenn ich jetzt kürze, bleibt im Zähler x-2 übrig. Somit kann ich nicht ausrechnen auf welchem y - Wert die Definitionslücke liegt.

Meine Frage ist jetzt, ist es keine stetig behebbare Definitionlücke? Wenn ja, was macht der Graph an der Stelle x=2 und warum? Wenn nein, wo liegt mein Fehler?

Bitte um möglichst schnelle Antwort, da ich es bis morgen haben muss.

Vielen Dank schon einmal im Vorraus.

mfg
DaNikolaus

DaNikolaus

Meine Frage ist jetzt, ist es keine stetig behebbare Definitionlücke? Wenn ja, was macht der Graph an der Stelle x=2 und warum? Wenn nein, wo liegt mein Fehler?

Bitte um möglichst schnelle Antwort, da ich es bis morgen haben muss.

Eine behebbare Definitionslücke liegt vor, wenn die Nullstelle des Nennerpolynoms(eine Klammer im Nenner) gekürzt werden kann gegen eine Nullstelle des Zählers (Klammer im Zähler).

Also: Gemeinsamer Faktor im Zähler und Nenner bedeutet die gleiche Nullstelle!

Was ist dann bei x=2? Eine ganz normale vertikale Assymptote?

bei x=2 ist ne polstelle und das kann man durchaus so interpretieren, dass die funktion dort gegen eine vertikale gerade x=2 strebt.