Thema: Formeln Ableiten

Ich habe für die Schule die Aufgabe bekommen (eine Art mini-Referat), die F(x)=(Wurzel X) ; f'(x)= 1/2*(Wurzel X) und f(x)1/x f'(x)= -1/x² zu beweisen.

Dazu habe ich auch material bekommen:
Erstmal zum Ableiten der Wurzel:


(Wurzel (X + h) - Wurzel X) / h = (Wurzel X+h - Wurzel X) / h * ((Wurzel X+h + Wurzel X) / (Wurzel X+h + Wurzel X))

Das kann man dann so ausklammern und kürzen, dass am Ende 1/2*Wurzel X rauskommt. Aber was ich absolut nicht verstehe ist, woher der dick makierte Ausdruck kommt. Ich weiß, dass er im Grunde 1 ergibt, aber ich bezweifle das es eine Lösung ist, bei allem mal 1 zu nehmen bzw. ob das überhaupt so erlaubt ist. Also woher kommt das?

Bei der Reziprokenregel:

Man kann im Ansatz ja die h Methode benutzen:

((x+h^-1) - (x^-1)) / h = 1 / (x+h-x) / h

Die Infos die man mir gegeben hat machen dann damit weiter zu:

= - (h / (x+h) * x) / h = -1 / (x+h)*x = -1/x²

Wobei ich auch hier den markierten Abschnitt nicht verstehe. Ersteinmal kapier ich nicht, wieso man die Formel zu umstellen darf, so wie ich das sehe kommt nämlich im Schritt davor eigentlich schon 0 raus, allerdings wird das ganze auf merkwürdige art und Weise ausgeklammert. Und dann der Schritt danach: Wieso kürzen sich das oberste h des Bruches und das unterste weg? Muss man den bunten Abschnitt nicht eigentlich so umschreiben:
(h*h) / (x+h)*x
Also das der Nenner des Nenners im Grunde mit dem Zähler multipliziert wird.

Was man bei der Wurzelableitung einfach macht würde ich noch aktzeptieren, weil es im Grunde nur ein mit 1 multiplizieren ist. Aber die Reziprokenregel bringt mich total durcheinander...

Zur obrigen Frage : Du kannst jedes beliebige Hilfsmittel bzw. Hilfsvariable hinzufuegen, sofern diese die eigentliche Gleichung nicht veraendert. Da wie du bereits schilderst , es keinen Einfluss nimmt, da x 1 den Wert nicht beeinflusst, ist es legitim. Du kannst als Beispiel bei der Gleichung x + 2 = 4 auch folgendes hinzufuegen : (x+2) / (Petra *Johannes/(Petra *Johannes))=4 ! Dies ist in der Praxis natuerlich voelliger Bloedsinn, daher wird eher nach einem Ausdruck gesucht, der sich durch kuerzen,ausklammern,addieren,etc. einbauen laesst und als Hilfestellung zum gewuenschten Ergebnis fuehrt.
Es gilt nur eine Regel hierbei, man darf das Ergebnis der eigentliche Rechnung nicht beeinflussen .

Gruesse
Cyanwasserstoff

Hallo

Zunächst ist es schwierig deine Gleichungen zu lesen, weil du dich nicht an die üblichen Konventionen zur Klammersetzung hälst.
Du weißt schon, dass 1/(x+h)*x und 1/((x+h)*x) etwas völlig anderes bedeuten? Deshalb kann ich mir nicht sicher sein, dass ich deine Gleichungen immer richtig interpretiere.


Diese Gleichung ist falsch:
((x+h^-1) - (x^-1)) / h = 1 / (x+h-x) / h
Du kannst nicht Brüche subtrahieren indem du die nenner subtrahierst.
Ich nehme mal die Brüche 1/5 und 1/8 und bilde die Differenz. 1/5-1/8. gilt etwa:
1/5-1/8=1/(5-8)=-1/3 ?
wohl kaum.
Um das zu berechnen, bringst du die brüche zunächst auf den gleichen nenner. Zum beispiel so 1/5=8/40 und 1/8=5/40
Jetzt bildest du die differenz
8/40-3/40
Die Differenz zwischen Brüchen mit gleichem Nenner bildest du indem du die Differenz der Zähler bildest. Es gilt:
8/40-5/40=(8-5)/40=3/40
Das gleiche machst du nun hier auch, nur dass du keine Zahlen als Nenner hast. DIe Nenner sind jetzt (x+h) und x.
Die Differenz lautet:
1/(x+h)-1/x
Nun musst du die Brüche auf einen gemeinsamen nenner bringen. Dieser wäre (x+h)*x
Es ist dann:
1/(x+h)-1/x=x/((x+h)*x)-(x+h)/((x+h)*x)=(x-(x+h))/((x+h)*x)=-h/((x+h)*x)

Für den Differenzenquotienten wird das Ganze nochmal durch h geteilt und es folgt für die mittlere steigung im Bereich [x, x+h]:
-(h/((x+h)*x))/h

Du hast jetzt einen bruch der form (a/b)/c dort stehen. Das ist das gleiche wie a/b*1/c=a/(b*c)
Übertragen auf unseren ausdruck bedeutet dies:
-(h/((x+h)*x))/h=-(h/(h*x*(x+h))
da einmal h im zähler und einmal im nenner steht, kannst du es natürlich wegkürzen.

Hab die Klammern leider wirklich etwas unübersichtlich gesetzt, ist am Computer zu tippen einfach etwas ungünstig. Dachte leider wirklich, dass man den Bruch 1/(x+h) in einen Bruch mit 1/x stellen kann.

1/(x+h) -1/x
=x/((x+h)*x) -(x+h)/((x+h)*x)
=(x-(x+h))/((x+h)*x)
=-h/((x+h)*x)

Das ist mir vorhin auch eingefallen, allerdings hatte ich dann wiederum keinen Plan, wie ich damit den Differenzenquotienten nehmen, also nocheinmal durch h teilen, kann.

a/b*1/c
=a/(b*c)

Daran hab ich garnichtmehr gedacht, wir hatten nämlich gleichzeitig in Physik den Fall, dass wir nur die Hälfte des Nenners gebraucht hatten, und dann diesen entweder direkt durch 2 genommen hatten und dann die Form a/(b/c) hatte oder a*b/c. In meinem Fall hier könnte man vielleicht eher schreiben: (a/b) / c = (a/b) / (c/1) = a/b * 1/c

Aufjedenfall habe ich dann

-(h/(h*x*(x+h))

und kann das kürzen, ausklammern und nach setzen des Limes von h gegen 0 erhalte ich das bekannte

-1/x²

Wie dem auch sei, mir ist das ganze jetzt komplett klar, vielleicht hilft ja auch meine eigene Fehleranalyse irgentjemanden, mit dem selben Problem. Im Internet finden sich ansonsten überraschend wenige einigermaßen nachvollziehende Erklärungen. Hatte sogar erstmal in vielen dicken Mathebüchern suchen müssen, bis mir etwas aufgefallen ist, dass dem Schritt vor dem Differenzenquotienten ähnelte.