Thema: Extremum , Waagerechte Tangente...

Neues Problem :
die zweite ableitung lautet 84x^2-180x+62

Will die Wendestelle.
Ich weiss schon wie man die wendestelle bestimmt , aber ich weiss nicht was ich mit dem x^2 und x machen soll.

lg

Wenn das schon die 2. Ableitung ist, kannst du doch einfach die Wendestellen ausrechnen indem du die pq-Formel anwendest und dann das Ergebnis in die ursprüngliche gleichung einsetzt

oder versteh ich deine Frage jetzt falsch...

R.Nadal

Neues Problem :
die zweite ableitung lautet 84x^2-180x+62

Will die Wendestelle.
Ich weiss schon wie man die wendestelle bestimmt , aber ich weiss nicht was ich mit dem x^2 und x machen soll.

lg

Für Wendestelle die zweite Ableitung gleich 0 setzen.

84x^2-180x+62 = 0

Taschenrechner ftw!

x1= 1,71.. | x2=0,43..

Oder du machst es umständlich mit der Hand mit Hilfe der pq-Formel wie Lady Yuna schon sagte.

aaaah danke ich verstehs.

hab nun ne andre frage ^^:
Hab die gleichung 7x^3 -16x^2 -1x -2
Will jetzt die Polynomdivision machen ich find eaber keine nullstelle die ich raten kann nichts passt.

lg

R.Nadal

aaaah danke ich verstehs.

hab nun ne andre frage ^^:
Hab die gleichung 7x^3 -16x^2 -1x -2
Will jetzt die Polynomdivision machen ich find eaber keine nullstelle die ich raten kann nichts passt.

lg

Vergiss das Raten. Laut Taschenrechner kommen da total krumme Werte raus. Durch Raten kommt man nie auf sowas.

Also entweder Du hast Dich vorher verrechnet oder Du kannst die Aufgabe vergessen.

Kann sein^^
die orig gleichung ist 7x^4-30x^3+31x^2+4

hab dan die Poly gemacht und hab die obige gleichung herausgefunden.

ich brauch die nullstellen von der gleichung 7x^4-.... und deshalb mache ich polys, weiss aber nicht wo mein fehler ist weil die 1. poly geht iwie bei mir auf

R.Nadal

aaaah danke ich verstehs.

hab nun ne andre frage ^^:
Hab die gleichung 7x^3 -16x^2 -1x -2
Will jetzt die Polynomdivision machen ich find eaber keine nullstelle die ich raten kann nichts passt.

lg

Also bei meinen Aufgaben damals, lag die Nullstelle, die ich durch ausprobieren herausfinden musste immer zwischen -3....+3. Gib mal diese Werte einfach für x mal ein, vielleicht wirste fündig.

mfg
Dark_Phalanx

R.Nadal

die orig gleichung ist 7x^4-30x^3+31x^2+4

Das ist nicht mal eine Gleichung. o.O

ich mein f(x)=7x^4-30x^3+31x^2+4 und von der brauch ich die nullstellen. laut geogebra sind se: (2/0) und (2,4/0) ich brauch aber den weg und bei der zweiten polynomdivision komm ich net weiter

@darkphalanx: ja hab ich leider schon .geht aber leider nicht auf


Lg

Kannst du mal die gesamte Aufgabe hier reinstellen?

Die erste Polynomdivision ist übrigens korrekt, was ich grad geprüft habe.

Wenn man keine niedrigen glatten Nullstellen findet, könnte man alternativ auch versuchen die Gleichung systematisch zu lösen. So ähnlich wie man das bei den quadratischen Gleichungen gemacht hat
Also:

7x^3-16x^2-x-2=0

Als erste dividiere ich die mal durch 7
=> x^3-16/7x^2-x/7-2/7=0
jetzt substituiere ich x=u+y. dabei ist y die neue variable und u eine noch zu wählende fixierte größe
=> (u+y)³-16/7(u+y)²-(u+y)/7-2/7=0
=> u³+y³+3u²y+3uy²-16/7u²-16/7y²-32/7uy-u/7-y/7-2/7=y³+(3u-16/7)y²+(3u²-32/7u-1/7)y-16/7u²-u/7+u³-2/7=0
nun wird u derartig gewählt, dass der quadratische term entfällt. dies erreicht man mit 3u-16/7=0 => u=16/21
=> y³-277/147y-11846/9261=0
Das ist die kubische gleichung in reduzierter form.
nun wähle ich als lösung y=A+B. in diesem fall sind sowohl A als auch B eine fixierte noch zu bestimmende größe
=>(A+B)³-277/147*(A+B)-11846/9261=0
=> (A³+B³+3A²B+3AB²)-277/147A-277/147B-11846/9261=0
=> A³+B³+3AB*(A+B)-277/147*(A+B)-11846/9261=A³+B³-11846/9261+(3AB-277/147)*(A+B)=0
Diese Gleichung ist erfüllt wenn
3AB=277/147 => A=277/(441B)
und
A³+B³=11846/9261

=> (277/(441B))³+B³=11846/9261
=> B^6-11846/9261B³+(277/441)³=0
Wähle D=B³
=> D²-11846/9261D+(277/441)³=0
Jetzt ist nur noch eine quadratische Gleichung zu lösen. Es folgt
B³=D=5923/9261+/-Wurzel((5923/9261)²-(277/441)³)
=> B=3.Wurzel(5923/9261+/-Wurzel((5923/9261)²-(277/441)³))
Analog folgt
A=3.Wurzel(5923/9261-/+Wurzel((5923/9261)²-(277/441)³))

Dies lässt sich zu der folgenden lösung kombinieren

y=3.Wurzel(5923/9261-Wurzel((5923/9261)²-(277/441)³))+3.Wurzel(5923/9261+Wurzel((5923/9261)²-(277/441)³))
Das kann man noch ein wenig zusammenfassen =>

y=3.Wurzel(5923/9261-2*Wurzel(42679)/1029)+3.Wurzel(5923/9261+2*Wurzel(42679)/1029)

Damit folgt für die endgültige lösung
x=16/21+3.Wurzel(5923/9261-2*Wurzel(42679)/1029)+3.Wurzel(5923/9261+2*Wurzel(42679)/1029)=2,39516208...

(3.Wurzel(...) bedeutet selbstverständlich "dritte Wurzel" und nicht 3*Wurzel)

Dies ist das Standardverfahren zum Lösen kubischer Gleichungen.
Es existieren noch zwei komplexwertige Lösungen. Dies habe ich mir aber erspart, da ich mir denke, dass diese hier nicht von Interesse sind

Boaaaaaaaa, oha danke.
Kann man das auch mit dem newtonschen näherungsverfahren machen? ja oder?

Und was ist wenn ich zwei wendepunkte habe, wie kann ich sagen wo die größere steigung von denen ist? oder sind die gleich groß.

JO Lg

R.Nadal

Boaaaaaaaa, oha danke.
Kann man das auch mit dem newtonschen näherungsverfahren machen? ja oder?

Und was ist wenn ich zwei wendepunkte habe, wie kann ich sagen wo die größere steigung von denen ist? oder sind die gleich groß.

JO Lg

Wendepunkte sind deshalb Wendepunkte, weil sie die Punkte sind, die die höchste Steigung haben. Demnach haben sie auch die selbe Steigung.

@R.Nadal
ja wenn du nur an einer genäherten Lösung interessiert bist, kanns du auch das newtonsche Näherungsverfahren nutzen. Meine Methode führte aber zum exakten Ergebnis, was auch mal ganz nett anzuschauen ist.

Incendie

Wendepunkte sind deshalb Wendepunkte, weil sie die Punkte sind, die die höchste Steigung haben. Demnach haben sie auch die selbe Steigung.

Naja bei Wendepunkten hat die Steigung ein lokales und kein globales Maximum (bzw. Minimum). Die Steigungen bei zwei verschiedenen Wendepunkten kann durchaus verschieden sein. Um herauszufinden bei welchem der beiden Wendepunkte nun das globale Maximum (bzw. Minimum) vorliegt, muss man einfach die Steigungen an beiden Stellen miteinander vergleichen.

Ok, aber beim Näherungsverfahren kann man doch nur eine Nullstelle berechnen oder? ich kenne nur die Methode mit einer oder kann man die auch auf die funktion oben verwenden?
wir hatten das noch nicht im Unterricht aber ich würde das gerne so lösen und so zeigen können.
muss mann vor dem 7x^3 dann durch 7 dividieren ,um nur x^3 stehen zu haben oder nicht?

Lg

R.Nadal

Ok, aber beim Näherungsverfahren kann man doch nur eine Nullstelle berechnen oder? ich kenne nur die Methode mit einer oder kann man die auch auf die funktion oben verwenden?
wir hatten das noch nicht im Unterricht aber ich würde das gerne so lösen und so zeigen können.
muss mann vor dem 7x^3 dann durch 7 dividieren ,um nur x^3 stehen zu haben oder nicht?

Lg

Das Näherungsverfahren ist bei beliebig vielen Nullstellen anwendbar. Welche Nullstelle du nun berechnest hängt einzig und allein von dem anfangs geratenen Wert ab. Du solltest den ersten Wert derart raten, dass er möglichst dicht an der gewünschten Nullstelle liegt. Und dann wendest du das Verfahren wie gehabt an.
Du hast meinetwegen eine Gleichung bei der bei x=0,1 und x=0,9 jeweils eine nullstelle vorliegt. Wenn du als Anfangswert x=0 wählst, so wird der algorithmus wohl gegen x=0,1 konvergieren, wenn du dagegen x=1,0 als Anfangswert wählst, so wird der Algorithmus wohl eher gegen x=0,9 konvergieren.

In einigen Fällen kann man auch Pech haben und die Folge konvergiert gar nicht.


Wenn du magst können wir das von mir geschilderte Verfahren noch einmal Schritt für Schritt durchgehen. Man dividiert durch 7 um vor dem x³ eine 1 stehen zu haben. Das ist schonmal eine Vereinfachung der Gleichung.

Ok , das wäre gut .

Wenn ich durch 7 dividier bekomm ich:
F(x)= x^3-2,2857x^2-0.142x-0,285
nun mache ich ne wertetabelle von -2 bis 2.
Am nähsten dran ist bei mir die x=0 mit f(0)=-0,285
ist das bisjetzt richtig?

ich habs yes,

habs gesheckt mit dem newton verfahren und bin aufs ricghtige ergebnis gekommen danke euch allen.

Lg