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Thema: Eine kleine Matheaufgabe
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24.03.2012, 10:31 #1CashPhlow
Eine kleine Matheaufgabe
Und zwar geht es darum, die Extremwerte, Extremstellen und die Art der Extremstelle zu bestimmen, das ist alles kein Problem, aber nun ist diese Funktion gegeben
z=f(x;y)= 2x^3 + 4xy - 2y^3
Zunächst leitet man nach x und y ab und anschließend löst man das Gleichungssystem.
nach x: fx(x;y) = 6x^2 + 4y = o
nach y: fy(x:y) = 4x - 6y^2 = 0
Was mir aber jetzt Schwierigkeiten bereitet ist, dass BEIDE Ableitungen quadratisch sind und ich somit nicht weiß, wie ich x beziehungsweise y ermitteln soll. Wüsste ich das, könnte ich auch die restliche Aufgabe lösen, was mir normalerweise nicht schwer fällt. Ich habe auch an das Einsetzungsverfahren gedacht, aber das geht irgendwie auch nicht auf.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand, erklären könnte, wie man hier nun weiter vorgeht, denn bis hierhin stimmt ja alles.
Danke im Voraus!
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24.03.2012, 14:46 #2Kimmel
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Ich gehe mal davon aus, dass das, was du machst richtig ist (partielle Ableitung habe ich bisher noch nicht gelernt.)
Wenn es nur darum geht, das Gleichungssystem zu lösen:
Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze diese dann in die andere ein. Zum Beispiel kannst du die erste Gleichung nach y auflösen und diese dann in die zweite Gleichung einsetzen.
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24.03.2012, 15:08 #3CashPhlow
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Genau, ich weiß zwar, dass man so vorgehen muss und das habe ich auch versucht, aber dabei kommt Folgendes raus:
4x - 6y^2 = 0
4x = 6y^2
x = 6/4y^2
Nun setze ich 6/4y^2 in die erste Gleichung für x ein:
6*(6/4y^2)^2 + 4y = 0
Jetzt müsste ich das Ganze noch auflösen, aber man rechnet ja dabei erst 6/4y^2 * 6/4y^2 und bekommt 36/16 y^4
also 2 4/16 y^4 raus. Oder geht man anders vor? Vielleicht indem man etwas ausklammert? Jedenfalls kann das ja so nicht hinkommen.
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24.03.2012, 15:25 #4Kimmel
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Kürze deine Brüche vorher, bevor du damit weiterrechnest. Kann manchmal nützlich sein.
Ja, Ausklammern ist eine gute Idee.
Da kommen aber ziemlich komische Zahlen raus...
Kann sein, dass ich mich verrechnet habe.
Auf jeden Fall solltest du das mal ein bisschen alleine rumprobieren.
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24.03.2012, 16:29 #5CashPhlow
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Danke für deinen Beitrag. Ich habe das auch mal ausprobiert und komme auf das gleiche Ergebnis. Ich glaube, dass es einfacher gehen muss, denn jetzt hat man plötzlich eine Gleichung dritten bzw. vierten Grades. Ich weiß nicht, was ich noch versuchen soll, weil ich irgendwie schon alles ausprobiert habe. Könnte man hier auch die Pq-Formel anwenden? Das Problem ist, dass es in einer Gleichung ein x und auch y gibt.
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24.03.2012, 16:40 #6Kimmel
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Na ja, immerhin wäre das ein Weg.
Ich weiß nicht, was ich noch versuchen soll, weil ich irgendwie schon alles ausprobiert habe. Könnte man hier auch die Pq-Formel anwenden? Das Problem ist, dass es in einer Gleichung ein x und auch y gibt.
Ob es einen einfacheren Lösungsweg gibt, weiß ich nicht, da ich das Thema wie gesagt bisher noch nicht behandelt habe.
Spontan fällt mir momentan nichts ein.
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24.03.2012, 16:51 #7CashPhlow
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Danke trotzdem für deine schnellen Beiträge und Ansätze, ich versuche mal weiter, diese Aufgabe zu lösen.
Vielleicht weiß hier jemand, wie man hier am Besten vorgeht.
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24.03.2012, 23:47 #8OmegaPirat
AW: Eine kleine Matheaufgabe
@Kimmel
Die Gleichung muss aber
y(27/2*y³+4)=0 heißen
Damit erhalte ich dann als Lösungen
x=y=0
und
x=2/3; y=-2/3
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25.03.2012, 00:03 #9Kimmel
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Ach herrje, du hast Recht.
Falsch abgeschrieben...
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25.03.2012, 00:25 #10OmegaPirat
AW: Eine kleine Matheaufgabe
x²+ay=0
y²-ax=0
Daran sieht man sofort, dass x=-y. Die zweite gleichung geht nämlich aus der ersten gleichung hervor, wenn man die variablen x und y vertauscht und das vorzeichen spiegelt.
Dann gehen beide gleichungen in die gleichungen x²-ax=0 und y²+ay=0 über
damit ist schonmal entweder x=y=0
oder x-a=0 und y+a=0
bzw.
x=a und y=-a
in diesem fall ist a=2/3
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25.03.2012, 10:40 #11CashPhlow
AW: Eine kleine Matheaufgabe
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25.03.2012, 14:14 #12OmegaPirat
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Die Gleichung besteht doch aus einem Produkt von zwei Faktoren. So ein Produkt wird genau dann null, wenn mindestens einer der beiden faktoren null ist. Also entweder ist y=0 oder 27/2*y³+4=0
letzteres musst du nur noch nach y auflösen. Die x-werte erhälst du, wenn du die y-werte in das gleichungssystem einsetzt.
Dieser Aufwand muss aber eigentlich nicht betrieben werden, da sich beide gleichungen kaum voneinander unterscheiden und man sie eben durch x=-y ineinander überführen kann, was man sofort sieht.
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25.03.2012, 15:29 #13CashPhlow
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Danke, jetzt weiß ich, dass ich bis zu diesem Schritt alles richtig gemacht habe. Wie löst man aber genau y(27/2*y³+4)=0 bzw. 27/2*y³+4=0 nach y auf, damit man auf -2/3 kommt?
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25.03.2012, 15:40 #14Kimmel
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25.03.2012, 15:45 #15CashPhlow
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25.03.2012, 15:52 #16Kimmel
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25.03.2012, 15:56 #17CashPhlow
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Ich danke dir, für die letzte Erklärung, jetzt bin in der Lage, die komplette Aufgabe zu lösen und vor allem zu verstehen^^
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25.03.2012, 22:05 #18OmegaPirat
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Wieso ist die Aussage "man zieht die dritte wurzel" streng genommen falsch? Die dritte Wurzel ist genau als die Rechenoperation definiert, welche einer zahl a eine zahl b zuordnet, so dass a=b³.
Ich finde es nur grad komisch, dass die partielle Ableitung einer funktion zweier unabhängiger Variablen gebildet werden kann, beim Wurzel ziehen es aber zu Problemen kommt. Das wäre so als würde man Prozentrechnungen machen ohne die Grundrechenarten zu können.
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26.03.2012, 00:07 #19Kimmel
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Das Wurzelziehen von negativen Zahlen ist immer so eine schwierige Sache, vllt. gerade weil das im Komplexen komplexer wird (man verzeihe mir das Wortspiel). Da existieren, wie du sicherlich schon weißt, 3 Lösungen. Das Wurzelziehen in diesem Fall gibt aber nur eine Lösung wieder. Daher bin ich immer sehr vorsichtig was das angeht und vermeide hier das Wurzelziehen und schreibe stattdessen die dritte Potenz.
Gut, da wir hier im reellen Körper sind (zumindest gehe ich davon aus), ist das wahrscheinlich kein großes Problem, da hast du schon recht.
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26.03.2012, 15:12 #20OmegaPirat
AW: Eine kleine Matheaufgabe
Nunja es macht aber keinen Unterschied ob du fragst was die dritte wurzel aus -8/27 ist oder welche zahl dreimal mit sich selbst multipliziert -8/27 ist. In beiden fällen gibt es im komplexen drei lösungen, nämlich -2/3, 1/3*wurzel(3)i+1/3 und -1/3*Wurzel(3)i+1/3.
z.B. ergibt 1/3*Wurzel(3)i+1/3 dreimal mit sich selbst multipliziert -8/27
Ich könnte fragen "Welches y gibt -8/27 aus, wenn man y hoch 3 nimmt?" und eine mögliche Antwort wäre eben die komplexe zahl 1/3*Wurzel(3)i+1/3
Und die quadratwurzel aus einer negativen Zahl geht auch im bereich der komplexen zahlen nicht, so ist i²=-1, woraus aber nicht i=Wurzel(-1) folgt.
Man kann z.B. den zweidimensionalen komplexen zahlenkörper auf einen vierdimensionalen körper verallgemeinern. deren elemente sind darstellbar durch q=a+bi+cj+dk. es treten drei unterschiedliche imaginäre einheiten auf für die gilt i²=j²=k²=-1. folgt daraus i=j=k=Wurzel(-1)? falls ja wären diese sogenannten quaternionen nichts anderes als komplexe zahlen.
Bei wurzeln mit ungeradem wurzelexponenten bereitet das wurzel ziehen aus einer negativen reellen zahl hingegen keine probleme. jedenfalls nicht mehr probleme als die wurzel aus einer positiven reellen zahl.
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