Thema: Eigenwerte/Eigenvektoren bestimmen

Hallo ich sitze grade an einer 3x3 Matrix und will meine 3-Lamdas herausbekommen
Ich habe drei Gleichungen:

1) 2r=Lamda*j
2) 0,5j=Lamda*r
3)0,2r +0,1 = Lamda

Bei 2x2 Matrizen bekomm ich das leicht hin, aber hier irgendwie nicht.
Ich möchte das aber ohne Gauß-Jordan hinbekommen, da wir das noch nicht wirklich im Unterricht besprochen haben- mit Determinanten und so.



Gruß

Bonjourno,

sitze immer noch an meiner Klausurvorbereitung
2x2 Matrizen bekomme ich hin, aber hier trete an die Grenzen meines Wissens.
Es sind keine HA.(in den Ferien wohl verständlich)

wäre für 1 oder 2 tipps dankbar

Edit:
Anmerkung: das ? ist ein lambda. Die Software kann das Lambda wohl nicht verarbeiten. Als ich den Beitrag schrieb wurde das lambda zunächst ganz normal angezeigt.

R.Nadal

Bonjourno,

sitze immer noch an meiner Klausurvorbereitung
2x2 Matrizen bekomme ich hin, aber hier trete an die Grenzen meines Wissens.
Es sind keine HA.(in den Ferien wohl verständlich)

wäre für 1 oder 2 tipps dankbar

Hallo

Mir ist noch unklar wo genau dein Problem liegt.

Es sei A eine nxn Matrix, x und y zwei n-komponentige Vektoren

Dann vermittelt A eine Abbildung gemäß
y=Ax
Wenn nun A auf x nichts anderes bewirkt als x zu strecken oder zu stauchen, ist x Eigenvektor von A und der Streckfaktor ? der zugehörige Eigenwert.
Wenn x also ein Eigenvektor ist, gilt:
Ax=?*x

Die weitere Aufgabe besteht nun darin die Eigenvektoren und Eigenwerte im R^n zu bestimmen.

Aus der Gleichung Ax=?*x folgt
Ax-?x=(A-?I)x=0
Dabei ist I die nxn Einheitsmatrix.
Man definiert als charakteristisches Polynom p=det(A-?I)
Der Ausdruck (A-?I)x=0 hat dann nur bei den Nullstellen des charakteristischen Polynoms nicht triviale Lösungen (d.h. x ist nicht der Nullvektor).

Also ist klar, was zu tun ist. Man muss nun alle ? für die det(A-?I)=0
Im Falle von 2x2 Matrizen, berechnet sich die Determinante ganz einfach über die Diagonalen. Bei 3x3 Matrizen kann man die Regel von Sarrus anwenden und im allgemeinen Fall wendet man den Entwicklungssatz nach Unterdeterminanten an.

Man erhält im Falle einer nxn Matrix ein Polynom n-ter Ordnung, welches es zu lösen gilt.

Wenn man nun die Eigenwerte herausgefunden hat, setzt man sie in die Gleichung (A-?I)x=0 ein und berechnet damit alle x. Im Falle einer Entartung bekommt man gleich einen ganzen Eigenraum mit raus.

An welcher Stelle tritt nun dein Problem auf?

Hi,

danke also,
die Regel von Sarrus hatten wir leider noch nicht.
Wir haben es immer mit Fällen gemacht und so die eigenwerte bekommen.

hier ist ne abi aufgabe , bei der Lösung von f) steht wie wir es machen:
http://ne.lo-net2.de/selbstlernmater...ke_Huehner.pdf


Das Thema mit determinanten haben wir nicht wirklich gemacht und das sollen wir auch nicht können (für die arbeit).


Gruß

Ok. Die Vorgehensweise ist eigentlich nicht üblich, aber nun gut.

Es wäre ganz hilfreich, wenn du mir die Matrix zeigst. Steht in der dritten Gleichung wirklich hinter dem Lambda nichts mehr?
Ansonsten teil mal die erste Gleichung durch die zweite Gleichung, so dass r und j rausfliegt und nur lambda übrig bleibt.

hi,
die matrix lautet
0 2 0
0,5 0 0
0 0,2 0,1

und der vektor ist : (j,r,1)

also zwei eigenwerte bekome ich durch rechnen raus: 1 und -1
aber den bei der dritten gleichng verstehe ich nicht?

hastu dieses neuartige verfhren verstanden???

Gruß Nadal

Moin, also ich hab mir das jetzt mit der determinante beigebracht(alleine):
nur meine Frage jetzt:
mein charakteristische Polynom ist: -x^3 + 0,1x^2 + x - 0,1
ich muss ja jetzt x ausklammen , aber was ist mit der o,1 ???

R.Nadal

Moin, also ich hab mir das jetzt mit der determinante beigebracht(alleine):
nur meine Frage jetzt:
mein charakteristische Polynom ist: -x^3 + 0,1x^2 + x - 0,1
ich muss ja jetzt x ausklammen , aber was ist mit der o,1 ???

Hallo
x ausklammern funktioniert hier nicht. Es gibt hier nur drei Möglichkeiten. Entweder du verwendest das übliche etwas längliche Verfahren zum Lösen kubischer Gleichungen, welches du wahrscheinlich nicht kennst, weil man das in der Schule nicht machst oder du rätst eine Lösung und die anderen Lösungen bestimmst du indem du die kubische Gleichung mittels Polynomdivision reduzierst oder du löst die Gleichung numerisch.

Im empfehle hier zweiteres, weil man sofort erkennt, dass x=1 eine Lösung ist.
Mit Polynomdivision kannst du die Gleichung faktorisieren, nämlich
-x^3 + 0,1x^2 + x - 0,1=(x-1)*(-x^2-0,9x+0,1)=0

Hallo ganz vergessen zu schreiben:

Es sind 13 Punkte geworden ^^
Hätten auch leicht 14 sein können (blöde Fehler)

Aber Danke euch, das wars für S2 mit Mathe Klausuren, geht aber in S3 wieder los ^^

R.Nadal

Hallo ganz vergessen zu schreiben:

Es sind 13 Punkte geworden ^^
Hätten auch leicht 14 sein können (blöde Fehler)

Aber Danke euch, das wars für S2 mit Mathe Klausuren, geht aber in S3 wieder los ^^

Herzlichen Glückwunsch erst einmal.

Dann steht demnächst wohl Stochastik an, wenn ich mich nicht irre.

Neee zum Glück nicht,

wir machen grad Analytische Geometrie. Nicht so mein lieblingsthema...

R.Nadal

Neee zum Glück nicht,

wir machen grad Analytische Geometrie. Nicht so mein lieblingsthema...

Ja, aber du hast gesagt, dass in diesem Halbjahr keine Klausuren mehr anstehen. Im nächsten Halbjahr hingegen müsste Stochastik drankommen. In der Oberstufe werden nämlich schon seit Jahren hintereinander die drei klassischen Bereiche Analysis, analytische Geometrie/lineare Algebra und Stochastik behandelt, was ich eigentlich schade finde, weil die moderneren mathematische Disziplinen wie Gruppentheorie, Differentialgeometrie, Graphentheorie,... sehr viel spannender sind. Na gut dafür sind sie auch recht abstrakt.
Früher wurde zeitweise sogar mal sphärische Trigonometrie unterrichtet.

OmegaPirat

In der Oberstufe werden nämlich schon seit Jahren hintereinander die drei klassischen Bereiche Analysis, analytische Geometrie/lineare Algebra und Stochastik behandelt

Stochastik haben wir gar nicht behandelt... Liegt vllt. daran, dass ich in BW lebe.

Kimmel

Stochastik haben wir gar nicht behandelt... Liegt vllt. daran, dass ich in BW lebe.

Welches Thema habt ihr stattdessen gemacht?

OmegaPirat

Welches Thema habt ihr stattdessen gemacht?

Wenn ich mich nicht täusche, dann haben wir nur Analytische Geometrie und Analysis behandelt.