Thema: Differentialgleichungen / Anfangswertprobleme

Moin liebe Gemeinde

Eine der Dinge, die unser Prof. wirklich nie gut erklären konnte stehen im Betreff;
kann da vielleicht einer von Euch in die Bresche springen?

Nehmen wir zum Beispiel dieses Blatt:
http://www.uni-due.de/~hn213me/mt/w09/inf2/in12.pdf

Wie muss ich an solche Aufgaben rangehen?

Wäre Euch wirklich für ein klein wenig Erleuchtung dankbar.

Hallo
Die entscheidenen Hinweise sind ja schon in den Aufgaben gegeben.
Bei der ersten Aufgabe substituierst du z=3x-4y+1
Diese substitution leitest du nach x ab:
Dann folgt z'=3-4y'
bzw. y'=(3-z')/4
Das setzt du alles in die DGL ein und es folgt:
(z'-3)/4=z²
Diese Gleichung lässt sich nach den üblichen Standardverfahren (Separation) lösen. Abschließend musst du natürlich noch die Substitution rückgängig machen.
-3y
Die zweite DGL ist eine lineare DGL 2. Ordnung. Ihre Lösung hat die folgende Struktur:
y=yh+yp
Dabei sind yh alle Lösungen der homogenen Gleichung y''-2y'-3y=0. yp (partikuläre Lösung genannt) ist eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
y''-2y'-3y=(16x+8)e^(3x)
Nun musst du halt die homogene DGL lösen. Das ist eine Standardgleichung, die ihr schon mehrmals gelöst haben müsstet.

Danke fr deine Antwort.

OmegaPirat

Nun musst du halt die homogene DGL lösen. Das ist eine Standardgleichung, die ihr schon mehrmals gelöst haben müsstet.

Nein, leider ist dem nicht so.
Ich war zwar zur letzten Vorlesung krank, aber nach Skript und dem, was mir gesagt wurde, wurde da wiedermal nur eine Definition runtergerissen und dann ging es weiter im Text.
Leider ist dieser mathematische Kurs tatsächlich zu jedem Thema so:
Aus dem Skript wird ein Satz oder eine Definition vorgelesen, es wird nicht gesagt wofür, Beispiele sind nicht existent.

Dies führt natürlich zu vollkommenem Stochern im Nebel -.-

Insbesondere habe ich keinen Übergang von Oberflächen und Kurven im n-Dimensionalen hin zu solchen Aufgaben,
mir scheint es einen "now for something completly different"-Übergang gegeben zu haben..
Ich stehe eben vor dem gesamten Thema, wie eine Ochs vorm Berg.

Speedy79

Nein, leider ist dem nicht so.
Ich war zwar zur letzten Vorlesung krank, aber nach Skript und dem, was mir gesagt wurde, wurde da wiedermal nur eine Definition runtergerissen und dann ging es weiter im Text.
Leider ist dieser mathematische Kurs tatsächlich zu jedem Thema so:
Aus dem Skript wird ein Satz oder eine Definition vorgelesen, es wird nicht gesagt wofür, Beispiele sind nicht existent.

Dies führt natürlich zu vollkommenem Stochern im Nebel -.-

Insbesondere habe ich keinen Übergang von Oberflächen und Kurven im n-Dimensionalen hin zu solchen Aufgaben,
mir scheint es einen "now for something completly different"-Übergang gegeben zu haben..
Ich stehe eben vor dem gesamten Thema, wie eine Ochs vorm Berg.

Weißt du denn jetzt nicht, wie man die Gleichung der Form y''+ay'+by=0 löst?
Und ja ich kenn solche Vorlesungen.
Vorlesungen nach dem Schema Definition-Satz-Lemma-... sind aber noch ganz aushaltbar. Meine MfP4-Vorlesung war katastrophal. So eine unstrukturierte Vorlesung habe ich sonst noch nie gesehen. Es wurde im Herbst bei einem Thema angefangen, aber nie beendet und in der nächsten Vorlesung kam ein neues Thema. Das vorige Thema wurde dann gegen Weihnachten wieder aufgegriffen und zu Ende geführt. Es ging kreuz und quer.

Aber nochmal zur Gleichung y''+ay'+by=0. Um so eine homogene lineare DGL zu lösen gibt es verschiedene Verfahren.
Für Anfänger ist dieses Verfahren geeignet:
Man wählt als Ansatz y=e^(cx) und setzt dies in die Gleichung ein.
Es ergibt sich
(c²+ac+b)e^(cx)=0
und dies ist null, wenn
c²+ac+b=0
dies ist die charakteristische lösung der DGL. In den meisten Fällen erhält man zwei verschiedene lösungen für c und damit zwei linear unabhängige Lösungen für y. Nach dem Superpositionsprinzip ist dann auch jede Linearkombination dieser beiden unabhängigen Lösungen eine Lösung der DGL.

Ich danke dir vielmals
Mit den Ansätzen und Begriffen kann ich mich da denke ich reindenken