Thema: Das unbestimmte Integral - BITTE um Hilfe!

Hallo,
ich verstehe das unbestimmte Integral leider gar nicht. Könntet ihr mir dieses bitte netterweise erklären und zwar am besten Schritt für Schritt.
Sendet mir bitte KEINE Internetseiten zu, sondern erklärt es bitte an Beispielen direkt.
P.S. Die Stammfunktion kann ich bilden, dass ist nicht das Problem.

Das unbestimmte Integral ist die "Stammfunktion" einer Funktion f(x)
Also angenommen wir haben eine Funktion f(x)=2x und wollen nun die Stammfunktion finden, dazu erhöhen wir die Potenz um "1" und nehmen sie dann mit dem Kehrwert der neuen Potenz mal.

f(x)=2x wird dann zu F(x)=x² +C
f(x)=x² wird dann zu F(x)= 1/3 x^3 +C
usw.

"c" fällt bei der Ableitung wie im unteren Beitrag zu sehen dann einfach unter den Tisch, da die Ableitung einer natürlichen Zahl "0" ist.

Nun kann man ein Intervall bestimmen in der man den Flächeninhalt der Funktion f(x)=2x berechnen kann. Dazu legt man eine obere und eine untere Grenze fest. Die Stammfunktion bezeichnet man dann als "unbestimmtes Integral".

Besser sollte es Omega erklären können

P.S. Die Stammfunktion kann ich bilden, dass ist nicht das Problem.

Entweder habe ich das überlesen oder du hast es editiert.

Die Stammfunktion kannst du dann wie gesagt nutzen um den Flächeninhalt in einem Intervall zu bestimmen, dazu setzt du zuerst die obere Grenze ein, und subtrahierst dann den Term mit der eingesetzten unteren Grenze der Funktion.

Also:
A = (2^2)-(1^2)
A = 3

Woox

Das unbestimmte Integral ist die "Stammfunktion" einer Funktion f(x)
Also angenommen wir haben eine Funktion f(x)=2x und wollen nun die Stammfunktion finden, dazu erhöhen wir die Potenz um "1" und nehmen sie dann mit dem Kehrwert der neuen Potenz mal.

f(x)=2x wird dann zu F(x)=x²
f(x)=x² wird dann zu F(x)= 1/3 x^3
usw.

So nicht ganz richtig. Das unbestimmte Integral zeichnet sich durch die wichtige Konstante C (eine natürlich Zahl, also 1;2;3;584958549;869456894 oder sonst wie)
Bei Woox' Beispiel wird f(x) = 2x also nicht zu F(x) = x² sondern zu F(x) = x² + C, weil die Funktion F(x) = x² abgeleitet wieder die Ausgangsfunktion x² ergibt, da nach den Ableitungsregeln die konstante Zahl C wegfällt.


LG, Prandini

Habe den Beitrag editiert, bitte beachten.

Prandini

So nicht ganz richtig. Das unbestimmte Integral zeichnet sich durch die wichtige Konstante C (eine natürlich Zahl, also 1;2;3;584958549;869456894 oder sonst wie)


LG, Prandini

Nun ja man kann auch reelle Zahlen zulassen.



Wichtig ist jedenfalls, dass die Stammfunktion zu einer Funktion nicht eindeutig ist. Verschiedene Stammfunktionen zu einer Funktion unterscheiden sich aber immer nur durch eine Konstante.
Das lässt sich leicht beweisen.

Beweis:
Gegeben seien zwei Funktionen für die gilt
F'(x)=f(x)
G'(x)=f(x)
F(x) und G(x) sind also Stammfunktionen von f(x). Nun ist die Frage inwiefern sie sich voneinander unterscheiden können
Dazu bilde ich eine neue Funktion:
H(x)=F(x)-G(x) => H'(x)=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0
Es genügt also zu zeigen, dass aus H'(x)=0 folgt, dass H(x) konstant ist.
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert innerhalb eines beliebigen Intervalls [a, b] für auf diesem Intervall stetige Funktionen ein x0, so dass
H'(x0)=(H(b)-H(a))/(b-a)
in unserem Fall ist H'(x)=0 (für alle x) und damit ist auch H'(x0)=0
=> (H(b)-H(a))/(b-a)=0
=> H(b)-H(a)=0 => H(b)=H(a)
Dies muss aber für beliebige Paare a, b gelten => H(x) muss für alle x denselben Funktionswert liefern und muss damit unabhängig von x sein => H(x)=Konstant=C mit C als beliebige reelle zahl (oder wenn mans alllgemeiner mag mit C als beliebige komplexe Zahl)
=> F(x)-G(x)=C
=> F(x)=G(x)+C
F(x) und G(x) unterscheiden sich also lediglich um eine Konstante C.

Damit kann man sich also sicher sein, dass man wirklich alle Stammfunktionen erfasst hat, wenn man einfach eine Konstante hinzuaddiert.

ENTSCHULDIGUNG!!!
Dann habe ich wohl den falschen Namen verwendet!
Gemeint ist folgendes:
Es soll das Integral einer oben oder unten gegen Null laufenden Fläche berechnet werden.
Zum Beispiel: Funktion f(x) ist gegeben, genauso wie Intervall [0,x] -> Also 1 bestimmter Punkt den wir kennen und 1 Variable
-> Das Integral einer unbestimmten Fläche mit 1 Variable als Punkt

Ja, das läuft doch alles so wie ich es beschrieben habe?

Entweder habe ich das überlesen oder du hast es editiert.

Die Stammfunktion kannst du dann wie gesagt nutzen um den Flächeninhalt in einem Intervall zu bestimmen, dazu setzt du zuerst die obere Grenze ein, und subtrahierst dann den Term mit der eingesetzten unteren Grenze der Funktion.

Also:
A = (2^2)-(1^2)
A = 3

Die untere Grenze ist in deinem Fall 0, also musst du keine Differenz bilden, sondern nur "x" einsetzen. Lautet die Stammfunktion F(x)=x³ und du willst das Integral im Intervall [0;6] berechnen, setzt du einfach 6 ein.

also f(x) = 1/3x² => F(x) = x³
I sei das Integral der ursprünglichen Funktion f(x), x die obere Grenze (=6), y die untere Grenze (=0)
I = (x^3) - (y^3)
I = (x^3) - (0^3)
I = (6^3) - (0^3) = 216

PS380GBZocker

ENTSCHULDIGUNG!!!
Dann habe ich wohl den falschen Namen verwendet!
Gemeint ist folgendes:
Es soll das Integral einer oben oder unten gegen Null laufenden Fläche berechnet werden.
Zum Beispiel: Funktion f(x) ist gegeben, genauso wie Intervall [0,x] -> Also 1 bestimmter Punkt den wir kennen und 1 Variable
-> Das Integral einer unbestimmten Fläche mit 1 Variable als Punkt

Unter unbestimmtes Integral versteht man immer ein Integral ohne Integrationsgrenzen.
Ein Integral mit Integrationsgrenzen ist immer ein bestimmtes Integral, auch wenn die Integrationsgrenzen von einem Parameter abhängen.

Was bewegt einen Menschen dazu soviele verschiedene Farben zu verwenden?

Wie sieht es jetzt aus, wenn man eine Funktion f(x) gegeben hat UND
von dieser das Integarl von der Stelle 0 bis zur "Variablen-Stelle" C ausrechnen muss???

Liest du überhaupt was wir hier schreiben?

Woox

Liest du überhaupt was wir hier schreiben?

Ich glaube, dass ein Missverständnis vorliegt. Er meint wie das ist, wenn die obere integrationsgrenze keine bestimmte zahl, sondern ein Parameter ist. Das ist zwar eigentlich genau dasselbe, aber da tut sich anscheinend so mancher doch ein wenig schwer
@PS380GBZocker

Wie sieht es jetzt aus, wenn man eine Funktion f(x) gegeben hat UND
von dieser das Integarl von der Stelle 0 bis zur "Variablen-Stelle" C ausrechnen muss???

Es kann nicht zugleich die obere integrationsgrenze von der integrationsvariablen abhängen. Das wäre ein zirkulärer Vorgang, was unberechenbar ist. Stattdessen meinst du womöglich, dass das integral bis zu einem Parameter x geht und dabei über x' integriert wird.

Das ist im Prinzip genauso wie woox es erklärt hat, nur dass man eben nun keine konkrete Zahl hat.
Also etwa so:
integral über x'² dx' von 0 bis x => [1/3*x'³] und jetzt musst du als obere Grenze halt x'=x und als untere grenze x'=0 setzen, also folgt 1/3*x³

so kann man funktionen über integrale definieren.
den logarithmus ln(x) kann man bspw. definieren als das integral über 1/x' dx' von 1 bis x.