Thema: Das bestimmte Integral

Hallo, ich hänge gerade an Aufgaben der Form (ax+b)^n , welche es zu integrieren gilt, damit man dann die Flächen in gegebenen Intervallen berechnen kann.

Meine Aufgaben:

a) [1; 3] (x-2)² dx
b) [0; 3] (5x-3)² dx
c) [-2; 5] (4x-3)³ dx

Die Aufgaben a und b rechne ich zunächst, in dem ich das Biom auflöse, also a²+2ab+b² , doch bei c merke ich, dass dies zu aufwändig ist und man eigentlich ein anderes Verfahren braucht.

Ich sehe auf Wolfram Alpha nach, wie sie die Aufgabe a rechnen und erkenne, dass man 1/(1+n) * (ax+b)^(1+n) rechnet, also die Potenz um 1 erhöhen, das Ganze durch die neue Potenz teilen, so wie durch die innere Ableitung. Somit haben wir bei Aufgabe a dann: 1/3 * (x-2)³ . Beim Einsetzen kommt beim Ausmultiplizieren, bei diesem Verfahren und bei Wolfram Alpha immer 2/3 raus, doch bei der Aufgabe b scheint das nicht mehr zu funktionieren.

Ich rechne wieder beide Wege wie bei a durch und bekomme 2 verschiedene Lösungen, einmal 25/3*x³ - 15x² + 9x , eingesetzt dann 117. Mit der 2ten Methode kommt 1/15 * (5x-3)³ heraus und eingesetzt dann 115,2. Bei Wolfram Alpha gibt es mehrere Lösungen, eine davon entspricht meine ersten Methode, die andere erwähnenswerte ist 1/15 * (5x-3)³ + 9/5 . Und als ich 117 mit 115,2 vergleiche, merke ich, dass die Differenz dem fehlenden Summanden entspricht. Ich frage mich mehrere Dinge:

* Wie kommt dieses 9/5 zu Stande?
* Warum gibt es kein solches Glied bei Aufgabe a?
* Und wenn ich doch F(b) - F(a) rechne, dann fällt das 9/5 doch sowieso weg, auch wenn die Untergrenze bei 0 liegt. Man kann zwar das -F(b) weglassen, da allein F(a) auch Grenze 0 bis a ist, aber wenn ich dennoch F(b) verwende, müsste doch das 9/5 wegfallen, doch dann stimmt das Ergebnis wieder nicht. Wieso?

PS: Die lineare Substitutionsintegration habe ich auch nicht ganz verstanden. Ich weiß zwar meistens, was zu "z" wird und dass man später zurück substituiert, aber dieses dx/dz = z' etc sagt mir kaum etwas, nur dass z bzw x die Integrationsvariable ist und das irgendetwas mit dem Steigungsdreieck zu tun hat, welches möglichst klein sein soll.

Bitte helft mir das zu verstehen.

Diese Aufgaben löst du einfach, wie du schon gesagt hast, mit der Umkehrung der Kettenregel, das ist eigentlich ganz einfach und nach zehn Aufgaben kannst du das im Schlaf .

(ax+b)^n nach dx integriert wird, unbestimmt, zu (1/((n+1)*a))*(ax+b)^(n+1). Aus b) int (5x-3)² dx wird durch unbestimmte Integration (5x-3)³*(1/(3*5)) (Plus Konstante, die fällt aber bei der bestimmten Integration weg und kann deshalb vernachlässigt werden). Du musst dann nur noch die Integrationsgrenzen einsetzen und bist fertig. Was du offenbar vergessen hast, ist der Kehrwert der inneren Ableitung, der bei der Integration auftauchen muss.

Die Grenzen kannst du dann selbst einsetzen, dazu fehlt mir gerade die Motivation

Zu deiner zweiten Frage: Wenn du bestimmt substituieren möchtest, was das ganze auf dem Niveau auf dem sich die Aufgaben befinden unnötig verkompliziert, musst du deine Substitution z=... finden, dz/dx bilden, nach dx auflösen und für die Integrationsvariable einsetzen. Du integrierst dann nach der Substitutionsvariable und veränderst zusätzlich die Integrationsgrenzen, so dass sie durch z ausgedrückt werden.

Edit: Ich habe deine Frage erst beim erneuerten lesen Verstanden: Das ist eine Konstante, die nur bei der unbestimmten Integration auftritt, wenn du jetzt deine Grenzen einsetzt (F(a)-F(b)) fällt die Konstante sowieso raus. Warum die jetzt Wolframalpha willkürlich auf diesen Wert gesetzt hat, kann ich dir nicht sagen.

Octavian

Diese Aufgaben löst du einfach, wie du schon gesagt hast, mit der Umkehrung der Kettenregel, das ist eigentlich ganz einfach und nach zehn Aufgaben kannst du das im Schlaf .

(ax+b)^n nach dx integriert wird, unbestimmt, zu (1/((n+1)*a))*(ax+b)^(n+1). Aus b) int (5x-3)² dx wird durch unbestimmte Integration (5x-3)³*(1/(3*5)) (Plus Konstante, die fällt aber bei der bestimmten Integration weg und kann deshalb vernachlässigt werden). Du musst dann nur noch die Integrationsgrenzen einsetzen und bist fertig. Was du offenbar vergessen hast, ist der Kehrwert der inneren Ableitung, der bei der Integration auftauchen muss.

Das a vergaß ich nur in der Formel aufzuschreiben, berücksichtigte es dennoch beim Rechnen, daher auch die 1/15 , die aus 1/"3*5" besteht.

Octavian

Die Grenzen kannst du dann selbst einsetzen, dazu fehlt mir gerade die Motivation

Aber genau da stellt sich doch der Fehler erst heraus, denn soweit wie du kam ich beim Rechnen doch auch, jedoch kommt 576/5 = 115,2 raus. Das Ergebnis lautet aber 117, wenn ich dem Ausmultiplizieren und Wolfram Alpha glaube.

Octavian

Zu deiner zweiten Frage: Wenn du bestimmt substituieren möchtest, was das ganze auf dem Niveau auf dem sich die Aufgaben befinden unnötig verkompliziert, musst du deine Substitution z=... finden, dz/dx bilden, nach dx auflösen und für die Integrationsvariable einsetzen. Du integrierst dann nach der Substitutionsvariable und veränderst zusätzlich die Integrationsgrenzen, so dass sie durch z ausgedrückt werden.

Ich denke mal z = 5x-3 , z = dz/dx -> dx = dz/z -> z² * dz/z -> z dz -> [5x-3] -> 5/2*x² - 3x ... ?
Das "Integrationsgrenzen verändern, so dass sie durch z ausgedrückt wird" verstehe ich nicht und ich weiß nicht, ob ich bis hierhin alles richtig habe.

Octavian

Edit: Ich habe deine Frage erst beim erneuerten lesen Verstanden: Das ist eine Konstante, die nur bei der unbestimmten Integration auftritt, wenn du jetzt deine Grenzen einsetzt (F(a)-F(b)) fällt die Konstante sowieso raus. Warum die jetzt Wolframalpha willkürlich auf diesen Wert gesetzt hat, kann ich dir nicht sagen.

Willkürlich ist sie sicher nicht, schließlich entspricht sie doch der Differenz meiner beiden Lösungen, doch bei Subtrahieren müsste sie, genau wie die Konstante c, wegfallen. Desswegen verstehe ich nicht, wie das sein kann. Mir fällt nur auf, dass dieser Wert bei ähnlichen Aufgaben meistens aus b^(n+1)/a*(n+1) besteht, also 3^3/(5*3) -> 27/15 -> 9/5 . Also muss der Wort doch schon von Bedeutung sein.

Du musst dich verrechnet haben, ich komme auch auf 117, beim einsetzen der Grenzen. Die "-9/5" erhälst du beim einsetzen der unteren Grenze, nämlich 0. Wenn man das ganze bei Wolframalpha korrekt mit Grenzen eingibt, kommt nur 117 raus. Was ich oben geschrieben habe ist also korrekt.

Ich denke mal z = 5x-3 , z' = dz/dx -> (...)

Du leitest z ab, und erhälst dann 5=dz/dx -> dx=dz/5 und ersetzt dann "dx" im Integral durch diesen Ausdruck. Die Integrationsgrenzen musst du dann anpassen, statt von 0 bis 3 integrierst du von z(0) bis z(3) (also mit den neuen Grenzen [-3,12]). Ich hoffe ich habe mich nirgends vertan, mir fehlt gerade die Zeit um alles nochmal durchzurechnen und Korrektur zu lesen.

Jetzt verstanden?

Noch der Wolframalphalink für die Substitution und die Integration mit dem gegebenen Problem:
Sub: http://www.wolframalpha.com/input/?i...+from+-3+to+12
Ausgangsterm: http://www.wolframalpha.com/input/?i...dx+from+0+to+3

(...) nach dx auflösen und für die Integrationsvariable einsetzen. Du integrierst dann nach der Substitutionsvariable und veränderst zusätzlich die Integrationsgrenzen, so dass sie durch z ausgedrückt werden.

Das ist auch genau genommen nicht ganz einwandfrei ausgedrückt, ich wollte es eigentlich editieren, aber es ging irgendwie nicht mehr. Du setzt die alten Grenzen in z ein und erhälst die neuen Grenzen für die neue Integrationsvariable z.