Thema: 0,9 Periode = 1 ?

OmegaPirat

und 0,999... entspricht nunmal dem grenzwert einer geometrischen reihe, der zufällig auch eins ergibt.

Mir ist schon klar, das 10 * x in meinem Beispiel einen Schonheitsfehler hat, für Zahlenfolgen mit 9 trifft er aber zu! Auch bei der Betrachtung als Grenzwert einer geometrischen Reihe ergibt sich das gleiche Ergebnis. Der im Startpost zitierte Lehrer hat Recht!

mxyptlk

Mir ist schon klar, das 10 * x in meinem Beispiel einen Schonheitsfehler hat, für Zahlenfolgen mit 9 trifft er aber zu! Auch bei der Betrachtung als Grenzwert einer geometrischen Reihe ergibt sich das gleiche Ergebnis. Der im Startpost zitierte Lehrer hat Recht!

die betrachtung über grenzwerte ist in der tat korrekt und widerspruchsfrei, sofern man den grenzwert auch widerspruchsfrei definiert hat. dies führt zum ergebnis 1, womit die äquivalenz von 0,999... und 1 nachgewiesen wäre.
Die andere betrachtungsweise führt zwar zum richtigen ergebnis, was die vorgehensweise aber nicht korrekter macht.
aus mathematischer sicht würde diese vorgehensweise auch bedeuten, dass 0,9=1. man kann es damit mit jeder neuner folge zeigen, dass das ergebnis eins ist. Wenn ich jetzt zum beispiel für einen zusammenhang die formel x=2n finde und speziell den fall n=2 betrachte so ist das ergebnis x=4. In wahrheit kann ich aber falsche annahmen gemacht haben und ein korrekter weg würde liefern x=n². auch hier ist das ergebnis x=4. man kommt also zum gleichen ergebnis und trotzdem ist der zusammenhang x=2n falsch.

TNP Markus

wenn ich mich nicht irre ist 1/9= 0,Periode1, also sind 9/9 = 0,Periode 9

... ABER: 9/9 ist zudem ja auch 1

also : 0,Periode9=9/9=1

Genau da drauf komm ich auch. bin jetzt total verwirrt ich werde mal meine Mathe Lehrerin drauf ansprechen mal schauen was sie macht

Nun, unser Mathelehrer hat uns des vorn paar Jahren ganz schön erklärt: Als dieser nämlich in die Schule ging, wollte er nich glauben, dass 0,Periode-9 fast 1 is... also hat er ein Blatt Papier genommen, und solange 0,9999999999999999999999999.... geschrieben, bis er letztenendes zur Einsicht gekommen is, dass die Differenz zwischen 0,Periode-9 und 1 maximal gering is.

diese methode wird aber wohl kaum von einem Mathematiker akzeptiert

OmegaPirat

diese methode wird aber wohl kaum von einem Mathematiker akzeptiert

Das wäre doch mal einen Test wert. Was meinst du nach wievielen Seiten es einem Mathematiker egal sein wird?

Ich - obwohl ich kein Mathematiker bin - würde gar nicht erst anfangen. Zufällig ist genau dieser Fall nämlich nicht eine Nachkommastelle wert.

Für die Skeptiker hier:

0,(periode)9 = 1

Sprich: "0 Komma Periode 9 ist GLEICH 1"

Da gibt es nichts zu rütteln.

Der Beweis über die geo. Reihe ist wohl der schönste.

Ein anderer einleuchtender Beweis ist.

Angenommen, 0,999... ist nicht 1.

Dann existiert ein k, so dass

0,999... < k < 1

gilt.

Da es dieses k nicht gibt, ist
0,999... = 1

Oder kann mir jemand ein solches k finden?

Liebe Grüße

Unregistriert

Für die Skeptiker hier:

0,(periode)9 = 1

Sprich: "0 Komma Periode 9 ist GLEICH 1"

Da gibt es nichts zu rütteln.

Der Beweis über die geo. Reihe ist wohl der schönste.

Ein anderer einleuchtender Beweis ist.

Angenommen, 0,999... ist nicht 1.

Dann existiert ein k, so dass

0,999... < k < 1

gilt.

Da es dieses k nicht gibt, ist
0,999... = 1

Oder kann mir jemand ein solches k finden?

Liebe Grüße

Wobei diese variante unvollständig ist, da der Beweis fehlt, dass es diese Zahl k nicht gibt. Die Variante mit der geometrischen Reihe ist so denke ich mal einfacher. Wenn man bewiesen hat, dass der reelle Zahlenkörper vollständig ist, müsste daraus folgen, dass es dieses k nicht gibt. Die Vollständigkeit des reellen Zahlenkörpers zu zeigen, ist aber deutlich schwieriger als den Grenzwert der geometrischen Reihe zu bestimmen.

Allgemein lässt sich sagen, dass die Notation reeller Zahlen in Dezimalschreibweise im Allgemeinen uneindeutig ist.

OmegaPirat

Wobei diese variante unvollständig ist, da der Beweis fehlt, dass es diese Zahl k nicht gibt. Die Variante mit der geometrischen Reihe ist so denke ich mal einfacher. Wenn man bewiesen hat, dass der reelle Zahlenkörper vollständig ist, müsste daraus folgen, dass es dieses k nicht gibt. Die Vollständigkeit des reellen Zahlenkörpers zu zeigen, ist aber deutlich schwieriger als den Grenzwert der geometrischen Reihe zu bestimmen.

Allgemein lässt sich sagen, dass die Notation reeller Zahlen in Dezimalschreibweise im Allgemeinen uneindeutig ist.

Ein fast schon philosophische Frage. Wenn die eine Brust einer Frau nur 0,9 Periode mal so groß ist wie die Andere, hat sie dann dennoch zwei Brüste?

Der Gedanke mit den geometrischen Reihen ist doch gar nicht so doof...


mit
a1= 9/10 und q= 1/10 ...-> ....

Summenformel für die ersten n Summanden ? Sn= ?

Folgt: lim(Sn) = ? ... (für n -> oo )
Folgt: der Grenzwert S existiert ( ..es ist |q|<1)

Und man sei erstaunt und beachte:
S = 1 = 0,9+0,09+0,009+ .................+an+....... (n->oo)


Ich hol mir nun ein Buch aus dem Labor und scheib es mal nieder

Gruß aus dem Labor

Ich denke nicht, da manchmal genannt wird, dass es zu 99,999 stimmt. Aber es gibt immer noch diese gaaaanz kleine Zahl, die aber auch die Wirkung haben kann, dass man falsch liegt

z.B

Mein Avatar ist zu 99,999999999999999% selbst erstellt. Stimmt aber nicht

~Gungrave~

Ich denke nicht, da manchmal genannt wird, dass es zu 99,999 stimmt. Aber es gibt immer noch diese gaaaanz kleine Zahl, die aber auch die Wirkung haben kann, dass man falsch liegt

z.B

Mein Avatar ist zu 99,999999999999999% selbst erstellt. Stimmt aber nicht

Die Frage ist längst beantwortet. Ich zitiere mich selbst:

0,9 Periode ist exakt 1.
Das folgt aus einer Grenzwertbetrachtung.
im Prinzip hat das schon S.A.P. gezeigt

Grenzwerte behandelt man in der 11. Klasse
Beim 12 jährigen Schulgang wahrscheinlich schon in der 10. Klasse

unter einer geometrischen Folge versteht man eine Folge der Form
1
q^1
q^2
.
.
.
q^n
aufsummiert ergibt dies
s=1+q^1+q^2+q^3+...+q^n
q ist dabei eine beliebige Basis
^steht für hoch
wenn ich diese Summe mit q multipliziere, so erhalte ich
qs=q+q^2+q^3+...+q^(n+1)
Jetzt subtrahiere ich die einfache Summe von der q-fachen Summe und erhalte

qs-s=(q+q^2+q^3+...+q^(n+1) )-(1+q+q^2+q^3+...+q^n)
=q^(n+1)-1
nach s umgeformt ergibt dies
s=(q^(n+1)-1)/(q-1)

Wenn ich z.B die Summe aus
1+2+2^2+2^3+2^4+2^5
errechnen will, so setze ich in die Formel s=(q^(n+1)-1)/(q-1) einfach q=2 und n=5 ein
s=(2^6-1)/1=63
Diese Formel hat einen Vorteil, wenn z.B so eine Reihe aus 100 Gliedern besteht, weil dann wäre es sehr mühsam, jedes einzelne Glied zu berechnen.
Auch wenn man etwas beweisen will, kann so eine Formel nützlich sein.
Nun ist 0,999999...=0,9+0,09+0,009+...=9*(0,1+0,01+0,001+. ..)
Diese Reihe kann ich mit Hilfe der geometrischen Reihe konstruieren
Ich wähle als Basis q=0,1
Dann erhalte ich
s=1+0,1+0,01+0,001+...
hier muss ich 1 subtrahieren damit die beiden Reihe äquivalent zueinander sind
s-1=0,1+0,01+0,001+...=(0,1^(n+1)-1)/(0,1-1)-1=(1-0,1^(n+1))/0,9)-1
Die Formel berechnet jetzt die Zahl 0,999... auf n Nachkommastellen genau
Die Zahl 0,999... hat allerdings unendlich viele Nachkommastellen. Ich muss also den Grenzwert bilden in dem ich n gegen unendlich laufen lasse
Nur der Ausdruck (0,1)^(n+1) enthält ein n.
Man hat also eine Potenz mit einer Basis zwischen 0 und 1 vorliegen. Wenn der Exponent bei solch einer Potenz gegen unendlich strebt so geht die Potenz gegen 0.
Es ist z.B
0,1=0,1
0,1*0,1=0,01
0,1*0,1*0,1=0,001
Die Folge wird immer kleiner
Genauere mathematische Grenzwertuntersuchungen lass ich hier weg. In der Oberstufe behandelt man das auch nur nebenbei
Ich setze jetzt mal ganz naiv (0,1)^(n+1)=0

Dann folgt (1-0,1^(n+1))/0,9)-1=1/0,9-1=1/9
für n gegen unendlich
Nun hieß der gesamte Ausdruck allerdings 9*(0,1+0,01+0,001+...)=9*1/9=1

Und das ist auch keine Frage, die eine Meinung zulässt.

schau mal:
1/9=0.1periodisch
aber 9/9 = genau 1 und gleichzeitig eig 0.9periodisch
es ist einfach so

Mein Gott....

der lim geht gegen 1!!!!

und ja 0, Periode 9 ist immer 1....

die beweise dafür wurden hier ja schon genung diskutiert.

und demanch wären auch 1, periode 9 = 2 !

wenn man 0.9999999999999999999999999 und so weiter mit unendlich multipliziert, kommt was anderes raus als ob man 1 mit unendlich multipliziert .1 ist nichts anderes als 1.0000000000000000000000000000000000 usw

Unregistriert

wenn man 0.9999999999999999999999999 und so weiter mit unendlich multipliziert, kommt was anderes raus als ob man 1 mit unendlich multipliziert .1 ist nichts anderes als 1.0000000000000000000000000000000000 usw

Wenn man eine Zahl mit "unendlich" multipliziert, kommt "unendlich" raus und keine reelle Zahl.

richtig.

und da 0,999999999 Periode gegen unendlich geht ist es 1!

Zitrone_

ja so schon... aber wenn irgendsolche Professoren statt 0,9 Periode eins nehmen kommt was ganz anderes raus...

oder in mathe:

1x 2 = 2
0,9 Periodex 2= *Taschenrechner hol* 1, 9 Periode 8 .....hä jetrzt check i gar nix mehr...^^

Also es ist meiner Meinung nach so 0,9 periode ist nicht 1 da wenn man 0,9 periode jetzt für Flugbahnberechnungen oder ähnliches nimmt und die Flugbahn länger ist sagen wir zb. zum Pluto oder weiter dann wird das irgendwann ungenau wenn ich jetzt nämlich 0,9 perioder ×1000 nehm erhalte ich
999,9periode wen ich aber 1× 1000 nehm erhalte ich 1000 das heißt das es zu kleinen Abweichungen kommt die letzten endes bei enorm wichtigen und genauen Berechnungen zu einer Katastrophe führen können also 0,9 periode ist nicht 1

Unregistriert

Also es ist meiner Meinung nach so 0,9 periode ist nicht 1 da wenn man 0,9 periode jetzt für Flugbahnberechnungen oder ähnliches nimmt und die Flugbahn länger ist sagen wir zb. zum Pluto oder weiter dann wird das irgendwann ungenau wenn ich jetzt nämlich 0,9 perioder ×1000 nehm erhalte ich
999,9periode wen ich aber 1× 1000 nehm erhalte ich 1000 das heißt das es zu kleinen Abweichungen kommt die letzten endes bei enorm wichtigen und genauen Berechnungen zu einer Katastrophe führen können also 0,9 periode ist nicht 1

999,9Periode ist aber dasselbe wie 1000.

Dann fliegt die sonde halt 2mm weiter noerdlich who cares?

0,9 periode ist 1.

Perioden müssen wir verwenden, da wir die jeweiligen Zahlen in diesem Zahlensystem nicht besser darstellen können. Wenn wir auf das trinäre Zahlensystem umsteigen, dann gilt:

0.3 Periode entspricht 0,1 trinär
0.6 Periode entspricht 0,2 trinär
0.9 Periode entspricht 0,3 = 1 trinär

Genausogut ist die Dezimalzahl 0,1 im Binärsystem nur periodisch darzustellen.

0.1 entspricht 0.0001100110011... binär