Thema: 0,9 Periode = 1 ?

0.9 periode ist 0.9 periode, und nicht 1.

Dass der Grenzwert der oben beschrieben Reihe 1 ist, ist zwar sehr richtig, hat damit aber ja mal garnichts zu tun. Limes ist Limes, und keine Gleichheit.

Wenn ihr im Studium euerm Prof erzaehlt, dass 0.9 periode gleich 1 ist, koennt ihr euern Abschluss gleich knicken :p

so ich hab mal einen mathematik stundenten angeschrieben und der hat mir das zurückgeschrieben:

0,9periode ist schon 1.

Das liegt daran, dass diese "Periode-Zahlen" eigentlich nur eine schlampige Schreibweise von einer ganzen Abfolge von "richtigen" Zahlen sind, bei 0,9 Periode ist diese Abfolge einfach:
1. Zahl: 0,9
2. Zahl: 0,99
3. Zahl: 0,999
4. Zahl: 0,9999
5. Zahl: 0,99999
... und man nimmt dann immer eine neue 9 hinzu.


Aber warum stellt das jetzt die 1 dar? Die obige Abfolge von Zahlen nähert sich der 1 immer mehr. Konkret heißt das, dass man, wenn man statt der 1 die z.B. 3. Zahl nimmt, einen Fehler von 1 - 0,999 = 0,001 macht. Die Fehler schauen insgesamt so aus:
1. Zahl: 1- 0,9 = 0,1
2. Zahl: 0,01
3. Zahl: 0,001
4. Zahl; 0,0001
usw.

Der Mathematiker sagt jetzt, dass die erste Abfolge mit den 9ern "gegen
1 konvergiert", und das bedeutet eben, dass man, egal welche Fehlertoleranz (>0) man vorgibt, ab einer bestimmten Zahl innerhalb dieser Fehlertoleranz bleibt, z.B.:
Wenn 0,00047105 die Fehlertoleranz ist, so ist man mit der 4., 5., 6., 7., 8. Zahl usw., also ab der 4. Zahl innerhalb der Fehlertoleranz und jetzt mathematisch ausgedrückt allgemein:
Ist e > 0 eine ganz beliebige Fehlertoleranz, so findet man dazu immer eine natürliche Zahl N, so dass ab diesem N alle Zahlen in der Abfolge innerhalb der Fehlertoleranz liegen.

Mire

0.9 periode ist 0.9 periode, und nicht 1.

Dass der Grenzwert der oben beschrieben Reihe 1 ist, ist zwar sehr richtig, hat damit aber ja mal garnichts zu tun. Limes ist Limes, und keine Gleichheit.

Wenn ihr im Studium euerm Prof erzaehlt, dass 0.9 periode gleich 1 ist, koennt ihr euern Abschluss gleich knicken

Du kannst ein beliebig kleines epsilon als Schranke wählen. Irgendwann wird jedes weitere Glied der Folge innerhalb dieser Schranke liegen. Wenn dies erfüllt ist konvergiert die Reihe und sie hat in diesem Fall den Konvergenzpunkt 1. Rein Werte mäßig sind die Zahlen 0,9... und 1 identisch.
Die Zahl 0,9... ist quasi eine Notation für das Ergebnis des Grenzwertes
0,9... bezeichnet also den Grenzwert der Folge, nicht aber die Einzelglieder
Außerdem lässt sich zeigen, dass zwischen 0,9... und 1 keine weitere reelle Zahl existiert. Dies ist nur zwischen gleichen zahlen der Fall.

OmegaPirat

Du kannst ein beliebig kleines epsilon als Schranke wählen. Irgendwann wird jedes weitere Glied der Folge innerhalb dieser Schranke liegen. Wenn dies erfüllt ist konvergiert die Reihe und sie hat in diesem Fall den Konvergenzpunkt 1. Rein Werte mäßig sind die Zahlen 0,9... und 1 identisch.
Die Zahl 0,9... ist quasi eine Notation für das Ergebnis des Grenzwertes
0,9... bezeichnet also den Grenzwert der Folge, nicht aber die Einzelglieder
Außerdem lässt sich zeigen, dass zwischen 0,9... und 1 keine weitere reelle Zahl existiert. Dies ist nur zwischen gleichen zahlen der Fall.

Fast. Du kannst ein beliebig kleines Epsilon GROESSER NULL waehlen. In der Physik, Informatik und sonstigen Praxisanwendungen kann man das als "Identisch" bezeichnen. Aber in der Analysis nicht.

Edit: Informier dich mal nach offenen bzw geschlossenen Intervallen (bzw Kugeln im nicht-eindimensionalen). Man kann einfach ein Intervall angeben in dem 1 enthalten ist, aber 0.9 periode nicht und umgekehrt ([0,1[ zB enthaelt 0.9p aber nicht 1). Ich denke das waere ein Gegenbeispiel dafuer, dass 1=0.9p nicht gilt.

Edit2: Da das dann ja nun geklaert waere.. *g* Eine neue These fuer alle zum Nachdenken! 1 ist die groeßte Natuerliche Zahl. "Beweis": Wenn 1 nicht die groeßte aller natuerlichen Zahlen waere, dann waere ihr Quadrat großer als sie selbst.

Mire

0.9 periode ist 0.9 periode, und nicht 1.

Dass der Grenzwert der oben beschrieben Reihe 1 ist, ist zwar sehr richtig, hat damit aber ja mal garnichts zu tun. Limes ist Limes, und keine Gleichheit.

Wenn ihr im Studium euerm Prof erzaehlt, dass 0.9 periode gleich 1 ist, koennt ihr euern Abschluss gleich knicken

Würde ich auch sagen....denn es kommen andere ergebniss raus,wenn man mit 0,9periode oder 1 rechnet...nur minimal, aber net das gleiche...

0,9 periode=1 siehe meinen beitrag ein bischen weiter oben oder OmegaPirats beiträge...
auserdem kann der taschenrechner nicht 0,9periode rechnen, da er nur eine bestimmte anzahl an stellen hat-->das ergebnis wird ungenauer
z.b. Taschenrechner: 0,99999999 und hört dann auf
in echt: 0,99999999999999999999999999 und geht noch unendlich weiter...

Es stimmt zwar, dass man grenzwerte nicht einfach so mit Reihen gleichsetzen kann, nur beschreibt die Schreibweise 0,9... den grenzwert der Reihe 0,9+0,09+...
Ich habe somit den Grenzwert der Reihe 0,9+0,09...
nicht mit 0,9+0,09+0,009+... gleichgesetzt, sondern mit der Schreibweise 0,9...
Letzendlich ist es in der Mathematik sogar festgesetzt, dass 0,9...=1
Einfach aus dem Grunde, dass 0,9... ein Grenzwert ist und nicht weil man aus dem Ausdruck den Grenzwert der Reihe 0,9+0,09+... bilden kann.

Edit:
@Mire
Ich versuch mal einen Ansatz für die Widerlegung deines "Beweises" zu finden.
Der da lautet: 1 ist die groeßte Natuerliche Zahl. "Beweis": Wenn 1 nicht die groeßte aller natuerlichen Zahlen waere, dann waere ihr Quadrat großer als sie selbst.

Gegeben sei eine Zahl n mit n€N (€ soll hier Element von bedeuten)
ihre Quadrat ist dann n²
die Differenz zwischen der Quadratzahl und der Zahl ergibt sich somit zu
n²-n=n*(n-1)
Die Folge natürlicher Zahlen mit n*(n-1) ist monoton wachsend.
Deshalb kann ich folgenden gültigen Satz aufstellen "Je größer eine natürliche Zahl n ist, desto größer ist die Differenz zwischen ihrer Quadratzahl und der Zahl selbst".
So ergibt sich für die Zahl 2 eine Differenz von 2.
gilt nun für die Zahl 1 als größte der natürlichen Zahlen n²-n<=0 (<= bedeutet kleiner gleich)
so folgt 2>1
Demnach kann es sogar überhaupt keine größte natürliche Zahl geben.
Inwiefern der Mathematiker daran etwas kritisieren würde, weiß ich nicht, schließlich denk ich mehr wie ein Naturwissenschaftler als ein Mathematiker.

Uh, das ist etwas im Kreis, hehe.. aber jau, die Idee ist natuerlich richtig .. der "Beweis" waere voellig legitim WENN es eine großte natuerliche Zahl gaebe. Also brauch man "nur" zu zeigen, dass N unendlich ist.

Viele Wege führen nach Rom
Die Idee kam mir während des Auto fahrens.
Ich weiß beim Auto fahren sollte man auf den Straßenverkehr achten, aber da kommen mir immer solche Ideen.

Das macht irgendwie Spaß.
Mal zwei neue Fragen:

Zeige:

1.) Gegeben sei eine beliebige sechstellige natürliche Zahl n. Man erzeuge eine Zahl m, indem man die Ziffern der Zahl n beliebig vertauscht (Bsp. n=632854; ein mögliches m wäre m=485263). Nun wird die Differenz n-m gebildet. (Für das Beispiel gilt n-m=147591. Nun wird aus der resultierenden Zahl n-m die Quersumme gebildet. Man erhält 27. Im nächsten Schritt wird von der neuen Zahl erneut die Quersumme gebildet und man erhält die Zahl 9. Nun ist es egal, welche sechsstellige Zahl man nimmt. Man erhält jedesmal am Ende entweder die Zahl 0 oder die Zahl 9. Dies ist zu zeigen.
2.) Die Zahl 26 ist die einzige natürliche Zahl, die zwischen einer Quadratzahl und einer Kubikzahl liegt.

Der erste Beweis ist relativ einfach.
Bei der zweiten Aufgabe wirds etwas knifflig. Mal sehen ob jemand die zweite Aufgabe lösen kann. Vielleicht gibt es doch einen verblüffend einfach weg, da ich oftmals zu kompliziert denke

Ich hätte auch ein Rätsel: 0,1, und die 64 sind die einzigen Zahlen, die sowohl eine Kubikzahl,a ls auch eine Quadratzahl sind.

@quasi
das interessante ist, wenn man meine zweite Aufgabe lösen kann, müsste man auch deine Aufgabe lösen können.
Meine Aufgabe ist nämlich analog zu der Frage ob die Gleichung x³-y²=2
nur eine ganzzahlige Lösung hat.
Deine Aufgabe ist analog dazu ob die Gleichung x³-y²=0 genau 3 ganzzahlige Lösungen, nämlich 0,1 und 64 hat.
Beides sind Fragen mit denen sich damals Fermat beschäftigt hat, aber keine Angst es ist bei weitem nicht so schwer wie, dass x^n+y^n=z^n mit n€N und n>2 keine ganzzahlige lösung hat, wer das hier auf sagen wir 100-200 Seiten beweisen möchte, kann dies gerne tun.

0,9Periode
+0,000 Periode 1
=1

und da 0,9 Periode nicht mit 0, sondern mit 0,1 addiert wird ist 0,9 nicht gleich 1 mein ich mal so

CryptiC

0,9Periode
+0,000 Periode 1
=1

und da 0,9 Periode nicht mit 0, sondern mit 0,1 addiert wird ist 0,9 nicht gleich 1 mein ich mal so

Das hat nur den Haken, dass du genauer untersuchen musst, was
0,000 Periode 1 für eine Zahl sein soll.
Eine Zahl die quasi 0 ergibt.

Ich habe die überzeugendste Lösung gefunden unter:
Ist 0,999...unendlich gleich 1 ? Ist 0,999...unendlich = 1 ?
und den grössten Witz unter:
Preis für Rechen-As: Schülerin stellt klügste Mathefrage - SPIEGEL ONLINE - Nachrichten - SchulSPIEGEL
wo offensichtlich nie jemand in die Internetforen geschaut hat, in denen diese Frage seit Jahrzehnten diskutiert wird.

also für mich ist nach wie vor 0,999...=1, weil 0,999... eine andere schreibweise für den grenzwert der reihe 9*10^(-1)+9*10^(-2)+9*10^(-3)+...+9*10^(-n) mit n gegen unendlich ist. Diese ist eine geometrische reihe und konvergiert offenbar gegen eins wie sich leicht zeigen lässt. 0,999... selbst ist nämlich ein Grenzwert, hier setzt man keine reihe mit einem grenzwert gleich, lediglich umschreibt man hier einen grenzwert durch den grenzwert einer reihe. Schließlich beinhaltet der ausdruck 0,999... bereits unendlich viele neunen, also wurde hier bereits ein grenzwert gebildet. Dann ist es nur legitim diesen grenzwert zu umschreiben.

Wem diese Grenzwertbetrachtung nicht genügt, so kommt man auch zu einer begründung, wenn man sich erstmal fragt, wann zahlen überhaupt gleich sind.
Zwei reelle Zahlen x und y sind gleich, wenn sich keine weitere zahl in R zwischen ihnen findet lässt. Ein Kriterium dafür ist, dass das arithmische mittel zwischen ihnen sich selbst abbildet.also wenn (x+y)/2=x oder (x+y)/2=y
genau dann gilt x=y
weil genau dann existiert keine zahl zwischen x und y.
nun es lässt sich durchaus zeigen, dass zwischen 0,999... und 1 keine weitere zahl existiert.

analog dazu kann man versuchen neuartige zahlen zu konstruieren wie zum beispiel die zahl 0,888...9 also eine zahl mit unendlich vielen achten und hinterher eine 9. es lässt sich nachweisen, dass dies gleichbedeutend mit 0,888... ist, da zwischen 0,888... und 0,888...9 keine weitere reelle zahl liegt und somit handelt es sich nicht um eine weitere zahl. gleiches gilt für die zahlen 0,000...1 und 0. beide zahlen sind gleich

OmegaPirat

also für mich ist nach wie vor 0,999...=1, weil 0,999... eine andere schreibweise für den grenzwert der reihe 9*10^(-1)+9*10^(-2)+9*10^(-3)+...+9*10^(-n) mit n gegen unendlich ist.

Irgendwie verstehe ich dich diesmal nicht OmegaPirat. Es läßt sich einfach nachweisen, dass 0,9 Periode gleich 1 ist.

Nehmen wir den Wert X = 0,99999

dann folgt, das 10x gleich 9,99999 ist.

Ziehe ich jetzt 1x von 10x ab bleibt 9x=9, womit X = 1 sein muss.

9X= 10X - 1X
9X= 9,9999... - 0,99999
9X= 9

X=1 Voila...

Man kann die Zahl x = 0, 9999... auch als Grenzwert einer unendlichenReihe
auffassen. Siehe Anhang...

Ich mache es mir so klar xD

1/3 = 0,Periode 3
2/3 = 0,Periode 6
3/3 = 0,Periode 9

3/3=1

1 = 0,Periode 9

mxyptlk

Irgendwie verstehe ich dich diesmal nicht OmegaPirat. Es läßt sich einfach nachweisen, dass 0,9 Periode gleich 1 ist.

Nehmen wir den Wert X = 0,99999

dann folgt, das 10x gleich 9,99999 ist.

Ziehe ich jetzt 1x von 10x ab bleibt 9x=9, womit X = 1 sein muss.

9X= 10X - 1X
9X= 9,9999... - 0,99999
9X= 9

X=1 Voila...

Man kann die Zahl x = 0, 9999... auch als Grenzwert einer unendlichenReihe
auffassen. Siehe Anhang...

das ist nützlich um sich die äquivalenz plausibel machen, man darf jedoch die elementaren rechenregeln auf nicht abbrechende dezimalzahlen nicht naiv anwenden.
betrachten wir mal den schritt von x zu 10x etwas genauer. und zwar erstmal nur für eine zahl mit endlich vielen nachkommastellen
Es sei x=0,999 und damit 10x=9,990
ich habe bewusst die null an der dritten nachkommastelle geschrieben, da dort nämlich gleich die problematik auftritt.
somit ist 10x-x=8,991
nun betrachte ich die zahl x=0,999...
jetzt multipliziere ich diese zahl mit 10 und es folgt x=9,999...
Wenn ich aber eine zahl mit endlich vielen nachkommastellen mit 10 multipliziere so tritt an der letzten stelle immer eine null auf. genau diese bedingung muss für die regel mit der verschiebung der nachkommastellen erfüllt sein. In diesem fall gilt das aber nicht, da es sich um unendlich viele neunen handelt wird nach der mulitplikation "am ende" nach wie vor eine neun statt der sonst üblichen null stehen. wenn ich diese regel streng genommen auf die abbrechende zahl x=0,999 übertrage so erhielt ich im strengen sinn
10x=9,999
und damit 10x-x=9,999-0,999=9 => 9x=9 => x=1
somit würde ich demnach nachweisen, dass gilt 0,9=0,99=0,999=...=1
Dies ist offensichtlich falsch, was an der falschen regel 10*0,999=9,999 liegt, was natürlich so aussieht 9,990. Im Falle 0,999... rückt jedoch immer eine neun nach und es erscheint nie die null, also hat man eigentlich falsche annahmen gemacht und kam zufällig zum richtigen ergebnis. Es hat einen Grund, weshalb Mathematiker überpinglig sind.
Eine widerspruchslose untersuchung kann in solch einem fall eigentlich nur über grenzwertbetrachtungen erfolgen.

@kimmel bei deiner methode ist das problem, dass du mit 0,333... ganz normal wie mit abbrechenden dezimalzahlen rechnest. Diese Methode ist hinreichend um Schüler zufrieden zu stellen, jedoch nicht hinreichend um ein widerspruchsloses Gedankengebäude zu konstruieren.

und 0,999... entspricht nunmal dem grenzwert einer geometrischen reihe, der zufällig auch eins ergibt.

wenn ich mich nicht irre ist 1/9= 0,Periode1, also sind 9/9 = 0,Periode 9

... ABER: 9/9 ist zudem ja auch 1

also : 0,Periode9=9/9=1

Physikerantwort:
Der Unterschied zwischen 0,9 periodisch und 1 ist vernachlässigbar.

Mathematikerantwort.
Der Unterschied konvergiert gegen 0.

Informatikerantwort:
Der Unterschied ist kleiner als der Maschinenfehler.