Thema: 0,9 Periode = 1 ?

Hallo.

Hab das Thema jetzt in tausenden Foren gelesen und darunter auch tausende "Lösungen"

Meine Frage:
Entspricht 0,9 Periode jetzt 1 ? Eure Meinung?

nein das es ja nicht genau 1 ist sondern 0,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 99999999999999999999999999999999999999999999999...

Zitrone_

nein das es ja nicht genau 1 ist sondern 0,9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 99999999999999999999999999999999999999999999999...

Schon klar , dann wurde aber gesagt das 0,9 Periode sich so nah an 1 nähert das es praktisch schon 1 ist.

ja so schon... aber wenn irgendsolche Professoren statt 0,9 Periode eins nehmen kommt was ganz anderes raus...

oder in mathe:

1x 2 = 2
0,9 Periodex 2= *Taschenrechner hol* 1, 9 Periode 8 .....hä jetrzt check i gar nix mehr...^^

Zitrone_

ja so schon... aber wenn irgendsolche Professoren statt 0,9 Periode eins nehmen kommt was ganz anderes raus...

oder in mathe:

1x 2 = 2
0,9 Periodex 2= *Taschenrechner hol* 1, 9 Periode 8 .....hä jetrzt check i gar nix mehr...^^

Ein beweis für 0,9 Periode = 1 wäre zb. :

0,9 als bruch wäre 9/9 das gekürtzt wär wieder 1 !

S.A.P

Ein beweis für 0,9 Periode = 1 wäre zb. :

0,9 als bruch wäre 9/9 das gekürtzt wär wieder 1 !

als bruch wäre 0.9 periode 9/10 und 1 wäre 10/10 und wenn mand 9/10 kürzt kommt wieder 0.9 periode raus

9/10 ist 0,9 und nicht 0,9 Periode.

0,9 Periode kann man als Bruch nicht darstellen 9/9 ist eins, da Zähler und Nenner gleich sind. 0,99999999999999999999.. ist aufgerundet 1, aber nicht =1

x =0,99999....

dann muss

10x = 9,99999999......

gelten

wenn wir beide gleichungen subtrahieren erhält man

9x = 9

also

x = 1

------------

Ich überleg ir das net selber , sondern hol das ausm I-net

9,9999999999999999 - 1 = 8,99999999999999999 und nicht 9

Du kannst 0,999999999 auch darstellen als Reihe der geometrischen Folge:

0,9 / 0,09 / 0,009 / 0,0009 / ...

also 0,9999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...


allgemein: a_n = a_1*q^(n-1) = 0,9*0,1^(n-1)


Die Formel für die unendliche Reihe (= Aufsummierung dieser Folgenglieder bis unendlich) lautet mit a_1=0,9 und q=0,1:

s = a_1 / (1-q) = 0,9 / (1-0,1) = 0,9 / 0,9 = 1

Jetzt bitte nochmal genauer erklären und nicht einfach aus dem Internet ziehen

.:-->quasi<--:.

Jetzt bitte nochmal genauer erklären und nicht einfach aus dem Internet ziehen

Hab ich jemals behauptet , das ich das verstehe?^^
Ich will eher , dass ihr das belegt/wiederlegt

0,9 Periode ist exakt 1.
Das folgt aus einer Grenzwertbetrachtung.
im Prinzip hat das schon S.A.P. gezeigt

Grenzwerte behandelt man in der 11. Klasse
Beim 12 jährigen Schulgang wahrscheinlich schon in der 10. Klasse

unter einer geometrischen Folge versteht man eine Folge der Form
1
q^1
q^2
.
.
.
q^n
aufsummiert ergibt dies
s=1+q^1+q^2+q^3+...+q^n
q ist dabei eine beliebige Basis
^steht für hoch
wenn ich diese Summe mit q multipliziere, so erhalte ich
qs=q+q^2+q^3+...+q^(n+1)
Jetzt subtrahiere ich die einfache Summe von der q-fachen Summe und erhalte

qs-s=(q+q^2+q^3+...+q^(n+1) )-(1+q+q^2+q^3+...+q^n)
=q^(n+1)-1
nach s umgeformt ergibt dies
s=(q^(n+1)-1)/(q-1)

Wenn ich z.B die Summe aus
1+2+2^2+2^3+2^4+2^5
errechnen will, so setze ich in die Formel s=(q^(n+1)-1)/(q-1) einfach q=2 und n=5 ein
s=(2^6-1)/1=63
Diese Formel hat einen Vorteil, wenn z.B so eine Reihe aus 100 Gliedern besteht, weil dann wäre es sehr mühsam, jedes einzelne Glied zu berechnen.
Auch wenn man etwas beweisen will, kann so eine Formel nützlich sein.
Nun ist 0,999999...=0,9+0,09+0,009+...=9*(0,1+0,01+0,001+...)
Diese Reihe kann ich mit Hilfe der geometrischen Reihe konstruieren
Ich wähle als Basis q=0,1
Dann erhalte ich
s=1+0,1+0,01+0,001+...
hier muss ich 1 subtrahieren damit die beiden Reihe äquivalent zueinander sind
s-1=0,1+0,01+0,001+...=(0,1^(n+1)-1)/(0,1-1)-1=(1-0,1^(n+1))/0,9)-1
Die Formel berechnet jetzt die Zahl 0,999... auf n Nachkommastellen genau
Die Zahl 0,999... hat allerdings unendlich viele Nachkommastellen. Ich muss also den Grenzwert bilden in dem ich n gegen unendlich laufen lasse
Nur der Ausdruck (0,1)^(n+1) enthält ein n.
Man hat also eine Potenz mit einer Basis zwischen 0 und 1 vorliegen. Wenn der Exponent bei solch einer Potenz gegen unendlich strebt so geht die Potenz gegen 0.
Es ist z.B
0,1=0,1
0,1*0,1=0,01
0,1*0,1*0,1=0,001
Die Folge wird immer kleiner
Genauere mathematische Grenzwertuntersuchungen lass ich hier weg. In der Oberstufe behandelt man das auch nur nebenbei
Ich setze jetzt mal ganz naiv (0,1)^(n+1)=0

Dann folgt (1-0,1^(n+1))/0,9)-1=1/0,9-1=1/9
für n gegen unendlich
Nun hieß der gesamte Ausdruck allerdings 9*(0,1+0,01+0,001+...)=9*1/9=1


Edit:
@Zitrone
Das liegt daran, dass der Taschenrechner mit gerundeten werten rechnet. Auch ein taschenrechner kann nicht mit unendlich Nachkommastellen rechnen
wenn du 0,999...*2 rechnest, so ist das ergebnis 2 exakt
das ergebnis 1,999999998 vom Taschenrechner dagegen basiert auf einen kleinen Rundungsfehler.

@S.A.P
man kann keine Meinung dazu haben, sondern es handelt sich um eine Tatsache, dass 0,9Periode=1 gilt

es gilt nicht weil 1 x 0.9 periodisch ist 0.9 periodisch und 1 x 1 ist eins aber wenn 0.9 periodisch 1 ist müsste gelten
1 x 0.9 periodisch = 1 x 1
gebt das mal in euren taschenrechner ein es kommt nicht das selbe raus

ps : das hab ich nicht aus dem i-net sondern selbst nachgedacht

Ich weiß jetzt nicht mit was für Algorithmen Taschenrechner arbeiten, aber wenn ich
0,999999999999999999999*1 rechne, so erhalte ich 0,999999999999999999999
Wenn ich allerdings 0,999999999999999999999*2 rechne, so erhalte ich
1,999999999999999999998
Erst wenn ich 0,9Periode * 2 rechne erhalte ich auch 2 als Ergebnis
Der Taschenrechner rechnet mit endlich vielen Nachkommastellen und dabei erhälst du bei multiplikation mit 1 auch das gleiche Ergebnis.
Das hat nichts damit zu tun, dass es einen unterschied zwischen 0,9periode und 1 gibt.

OmegaPirat

Ich weiß jetzt nicht mit was für Algorithmen Taschenrechner arbeiten, aber wenn ich
0,999999999999999999999*1 rechne, so erhalte ich 0,999999999999999999999
Wenn ich allerdings 0,999999999999999999999*2 rechne, so erhalte ich
1,999999999999999999998
Erst wenn ich 0,9Periode * 2 rechne erhalte ich auch 2 als Ergebnis
Der Taschenrechner rechnet mit endlich vielen Nachkommastellen und dabei erhälst du bei multiplikation mit 1 auch das gleiche Ergebnis.
Das hat nichts damit zu tun, dass es einen unterschied zwischen 0,9periode und 1 gibt.
Der Taschenrechne hat sicherlich nicht 1*0,9periode gerechnet, sondern 1*0,viele neunen

Also kann ich mit 0,9 Periode genau so rechen wie mit 1?Und 0,9 Periode ist eigentlich nur eine andre Schreibweise?

Naja, wenn du 0,999999999999999 in einen Taschenrechner eingibst, wird er das als 0,9999999,,, identifizieren und mit diesem Wert weiterrechnen

@S.A.P
ja beides ist die Schreibweise ein und der gleichen Zahl

@quasi
wenn du 0,999999999999999 eintippst, so wird er auch mit
0,999999999999999 rechnen und nicht mit 0,999999999999999...
Erstmal wäre man unendlich lange beschäftigt, wenn man mit unendlich vielen Nachkommastellen rechnet und zweitens könnte man mit zahlen wie 0,111111111111111
dann gar nicht rechnen, weil der Taschenrechner nach deiner These das als 0,111111111111111... erkennen würde, was schließlich nicht identisch ist.
Es wäre komisch, wenn der Taschenrechner mit einer anderen zahl weiterrechnet als man eintippt, es sei denn er rundet.

mir ist noch was eingefallen das es beweisen kann das es stimmt das wäre dann zwaR GEGEN MEINEN LETZTEN BEITRAG ABER EGAL

also 1/3 ist ja 0.3 periodisch wenn ich das beide dann mal drei rechne kommt 3/3 ist 0.9 periodisch und 3/3 sind ja auch eins. als gleichung

1/3 = 0.3 periode \beides mal drei
3/3 = 0.9 periode

und da 3/3 = 1 sind ist es eigentlich das selbe
anscheinend ist es in der mathematik das selbe aber nicht im real life

Dein "Beweis" ist etwas für die Mittelstufe, da du vorausgesetzt hast, dass 1/3=0,3Periode ist.
Und darüber hinaus hast du noch vorausgesetzt, dass 0,3Periode*3=0,9Periode
Es mag zwar banal klingen, aber ein mathematisch anerkannter Beweis kann nur über die Grenzwertbetrachtung führen.
Gerade bei, rechnen mit unendlichkeiten muss man vorsichtig sein. Es gibt zahlreiche Dinge in der Mathematik bei denen man zu falschem Ergebnis kommt, weil man intuitiv etwas vorausgesetzt hat, was in dem Fall dann falsch ist. Es ist deine Intuition die sagt 0,3Periode*3=0,9Periode nicht aber die Mathematik.
Ich hab den Beweis auch auf der letzten Seite nur knapp ausgeführt, wobei das auch noch nicht sauber mathematisch formuliert war. Es ist schließlich kein Matheforum hier und es gibt dementsprechend auch keinen Formeleditor mit dem ich die Symbolik dazu verwenden könnte.

Deine genannte Methode ist gut geeignet, um es jemanden plausibel machen.
Und 0,9Periode ist auch in der Realität 1, wobei die Mathematik eine Abstraktion der Realität darstellt.
die Beziehung 0,9Periode=1 ist so real wie die Zahlen selbst real sind.
Zu zeigen ob Zahlen überhaupt real sind ist eine knifflige Angelegenheit.

Edit: Mir ist grad ein Beispiel eingefallen
Wenn man die Zahl 1 beliebig oft mit sich selbst multiplizert, so ist das Produkt immer wieder 1
Es ist
1=1
1*1=1
1*1*1=1
1^10=1
1^100000000=1
Aus der Intuition würde man schließen
1^unendlich=1
Also wenn man unendlich mal die 1 mit sich selbst multipliziert müsste man wieder eine 1 erhalten
dem ist aber nicht so
In der Mathematik ist 1^unendlich nicht definiert
Es kann nur bei Grenzwerten ein Kompromiss eingegangen werden

Man darf auch die mathematische Grundoperationen nicht ohne Weiteres auf unendlich lange dezimalzahlen anwenden
In der MAthematik als Strukturwissenschaft muss man bei solchen Dingen ziemlich genau sein